Lezioni di analisi matematica/Capitolo 7/Paragrafo 45

Capitolo 7 - Serie a termini negativi e positivi. Serie a termini complessi

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Capitolo 7 - Serie a termini negativi e positivi. Serie a termini complessi
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§ 45. — Serie a termini negativi e positivi.
Serie a termini complessi.


Cominciamo dalla considerazione di una serie a termini reali

[1]                              

Sul segno dei termini non facciamo alcuna ipotesi. Siano quei termini di questa serie che sono positivi, quei termini della nostra serie che sono negativi. Tra i primi n termini della [1] ce ne saranno, per es., m positivi, p negativi: . E sarà quindi

.

Supponiamo che sieno convergenti le due serie

[2]                              

[3]                              1

e ne siano le somme. Allora

.


Quindi: la [1] è convergente ed ha per somma .

Con le notazioni precedenti si ha evidentemente


donde, come sopra, si deduce che la serieù [4]                              

è convergente, ed ha per somma .

Supponiamo ora viceversa che la [4] sia convergente, ed abbia quindi una somma finita .

Siccome ognuna delle quantità è un termine di [4], per il lemma del precedente paragrafo, la [2] è convergente. In modo analogo si dimostra che la [3] converge, e che, quindi, per quanto si è visto, converge anche la [1].

Dunque:

Una serie [1] converge, quando converge la serie [4] dedotta dalla [1], sostituendo a ogni termine il suo valore assoluto.

Si avverte che il teorema reciproco non è vero. [p. 150 modifica]così, p. es., se ne trae che [1] converge se il esiste, ed è minore di 1.

Una serie [1], tale che converga la serie [4] formata coi valori assoluti dei suoi termini, si dice assolutamente convergente.

Teorema Una serie [1] assolutamente convergente rimane tale, e non muta di valore, comunque si cambi l'ordine dei suoi termini.

Infatti il cambiare l'ordine dei termini della [1] equivale a murate al più l'ordine dei termini della [2], [3]. ma come sappiamo, comunque si muti quest'ordine, la serie [2], [3]. ma come sappiamo, comunque si muti quest'ordine, le serie [2], [3] a termini positivi restano convergenti, e le loro somme continuano ad essere rispettivamente uguali a . per le considerazioni precedenti la [1] resterà ancora convergente, e la sua somma sarà ancora .

Si può invece dimostrare che in una serie convergente, ma non assolutamente convergente, si può mutare l'ordine dei termini in guisa che la serie diventi o divergente, o indeterminata, o abbia quella somma che più ci piace. Naturalmente è necessario cambiar l'ordine di un numero infinito di termini per ottenere una tale variazione.

Questi teoremi si estendono subito a una serie a termini complessi

(1)                              

                              

col teorema:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè siano assolutamente convergenti tanto le serie formata con le parti reali dei termini di (1) quanto le serie formata coi coefficienti di i nei termini di (1) è che sia convergente la serie dei moduli dei termini di (1). (Ricordo che ).

Infatti . Se le serie delle e delle convergono, converge anche òa serie somma, ed a fortiori converge la serie delle . Viceversa, se converge quest'ultima serie, convergono le serie delle e quella delle , perchè      ,     .

Tali serie si dicono ancora assolutamente convergenti. Anche per una serie a termini complessi vale il teorema che, se , la serie è assolutamente convergente, ed ha una somma indipendente dall'ordine dei suoi termini. [p. 151 modifica]

Esempi


La serie , dove converge assolutamente per ogni valore (anche complesso) della perchè il rapporto


tende a zero per . Dal teor. ε) del § 42 segue in particolare che .

2° Studiamo ora la serie ove si è posto: ossia la serie

dove m è una qualsiasi costante.

Se m è un intero positivo, tutti i termini dopo lo sono nulli e sla serie si riduce ad un polinomio uguale (§ 11, pag. 44) ad .

Se m non è un intiero positivo, allora si noti che:

;


e quindi

.


Se dunque , la nostra serie converge assolutamente.

E in particolare ne consegue che, se , allora

.

Note

  1. I risultati seguenti valgono anche se di termini positivi, o di termini negativi nella [1] ve n'è solo un numero finito, se cioè una delle serie [2] [3] si riduce a una somma. Questi risultati valgono anche se la [1] ha dei termini nulli.