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SERIE

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§ 45. — Serie a termini negativi e positivi.
Serie a termini complessi.

Cominciamo dalla considerazione di una serie a termini reali

[1]                              $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots$

Sul segno dei termini non facciamo alcuna ipotesi. Siano $a_{1},a_{2},\cdots$ quei termini di questa serie che sono positivi, $-b_{1},-b_{2},-b_{3},\cdots$ quei termini della nostra serie che sono negativi. Tra i primi n termini della [1] ce ne saranno, per es., m positivi, p negativi: $m+p=n$. E sarà quindi

$u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}=(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})-(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{p})$.

Supponiamo che sieno convergenti le due serie

[2]                              $a_{1}+a_{2}+a_{3}\cdots$

[3]                              $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots$¹

e ne siano $S,s$ le somme. Allora

$\lim _{n=\infty }(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n})=\lim _{m=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})-$

$-\lim _{p=\infty }(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{p})=S-s$.

Quindi: la [1] è convergente ed ha per somma $S-s$.

Con le notazioni precedenti si ha evidentemente

$|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+\cdots +|u_{n}|=(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})+$

$+(b_{1}+b_{2}+\cdots b_{p})$

donde, come sopra, si deduce che la serieù [4]                              $|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+\cdots$

è convergente, ed ha per somma $S+s$.

Supponiamo ora viceversa che la [4] sia convergente, ed abbia quindi una somma finita $T$.

Siccome ognuna delle quantità $a_{1}$ è un termine di [4], per il lemma del precedente paragrafo, la [2] è convergente. In modo analogo si dimostra che la [3] converge, e che, quindi, per quanto si è visto, converge anche la [1].

Dunque:

Una serie [1] converge, quando converge la serie [4] dedotta dalla [1], sostituendo a ogni termine il suo valore assoluto.

Si avverte che il teorema reciproco non è vero.

1. I risultati seguenti valgono anche se di termini positivi, o di termini negativi nella [1] ve n'è solo un numero finito, se cioè una delle serie [2] [3] si riduce a una somma. Questi risultati valgono anche se la [1] ha dei termini nulli.