Lezioni di analisi matematica/Capitolo 7/Paragrafo 44

Capitolo 7 - Cambiamento nell'ordine dei termini di una serie a termini positivi

../Paragrafo 43 ../Paragrafo 45 IncludiIntestazione 30 dicembre 2022 75% Da definire

Capitolo 7 - Cambiamento nell'ordine dei termini di una serie a termini positivi
Capitolo 7 - Paragrafo 43 Capitolo 7 - Paragrafo 45
[p. 148 modifica]

§ 44. — Cambiamento nell'ordine dei termini in una serie a termini positivi.

Se                                                     

è una serie, i cui termini appartengono anche alla serie

,


se i termini di entrambe le serie sono positivi, se la seconda serie converge, anche la prima serie converge, ed ha una somma che non supera la somma della seconda.

Infatti se n è un intero qualsiasi, potremo trovare un altro intero tale che nei primi m termini della seconda serie siano contenuti tutti i primi n termini della prima.

Sarà

(1).


Il limite del 2° membro per e quindi anche per uguaglia la somma della seconda serie, che per ipotesi è un numero finito: quindi il primo membro di (1) non può tenedere all'infinito, e perciò la prima serie converge ed ha una somma finita . Passando poi al limite per , la (1) dimostra che .

Se

[1]                    

è una serie convergente a termini tutti positivi (o tutti negativi), e se

[2]                    

è una serie dedodda da [1], cambiando l'ordine dei termini, anche lla [2] è convergente, e le due serie [1] e [2] hanno la stessa somma.

Infatti, poichè i termini della [2] appartengono a tutti alla [1], per il lemma precedente la serie [2] converge; e se sono le somme di [1] e [2], è . Ma, poichè viceversa anche tutti i termini di [1] sono termini di [2], è anche . Quindi necessariamente .

Questo teorema vale naturalmente, anche se la serie è a termini tutti negativi. c.d.d.