Lezioni di analisi matematica/Capitolo 7/Paragrafo 43

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 7 - Serie a termini positivi

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[p. 143 modifica]

§43. — Serie a termini positivi.

α) È specialmente importante lo studio delle serie, i cui termini sono reali ed hanno tutti lo stesso segno, sono cioè tutti positivi o tutti negativi.

A noi basterà studiare, p. es., le serie i cui termini sono tutti positivi, perchè le proprietà delle serie, i cui termini sono tutti negativi, se ne dedurranno immediatamente. È evidente infatti che la serie $k_{1}+k_{2}+\cdots$ e la serie $(-k_{1})+(-k_{2})+\cdots$ , che si ottiene cambiando i segni di tutti i termini della precedente, sono contemporaneamente convergenti, o divergenti, od indeterminate. Ed anzi, se la prima converge ed ha per somma S, la seconda converge ed ha per somma $-S$ .

Lo studio dunque delle serie di termini tutti negativi è equivalente allo studio della serie con tutti i termini positivi.

Se i termini della serie $a_{1}+a_{2}\cdots$ sono tutti positivi, la somma $s_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ dei primi termini è una funzione crescente di $n$ , e quindi (pag. 124, § 38) tende ad un limite per $n=\infty$ .

Una serie a termini positivi non è mai indeterminata.

β) Se

(1) $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$

(2) $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots$

sono due serie a termini positivi, e se per tutti i valori di n si ha

(3) $a_{n}\leq b_{n}$ ,

allora, se la serie (2) converge, anche la serie (1) converge; e la somma s di (1) non può superare la somma $\sigma$ di (2).

E quindi, se la serie (1) diverge, diverge anche la (2).

Infatti, se $s_{n},\sigma _{n}$ sono rispettivamente la somma dei primi n termini della (1) e della (2), allora dalla (3) segue

(4) $s_{n}\leq \sigma _{n}$ .

Se la (2) converge, allora $\sigma =\lim _{n=\infty }\sigma _{n}$ è finito; dalla (4) segue che in tal caso $s_{n}$ non può tendere all'infinito, ossia che la (1) [p. 144 modifica]non può divergere. Quindi, per il teorema precedente, la (1) converge (perchè nè diverge, nè è indeterminata). Di più dalla (4) segue che $s=\lim _{n=\infty }s_{n}\leq \sigma$ .

γ) In particolare se $b_{n}=bq^{n}$ , dove $0<q<1,b>0$ , ossia se la (2) è una progressione geometrica decrescente (che noi sappiamo già convergente), si ha:

Se i teoremi della serie

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$

sono positivi, ed esistono due numeri positivi b, q, tali che $q<1$ e che

$a_{n}\leq bq^{n}$ ,

allora la nostra serie converge.

E in modo analogo si vede che, se fosse

$a_{n}\geq bq^{n}$ ,

dove $q\geq 1,b>0$ ,

la serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$

sarebbe divergente.

δ) Supponiamo ora che esista un numero $k<1$ , tale che per tutti i valori di $n$ sia

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k<1$ ¹.

Ciò equivale a supporre che il limite superiore dei rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sia un numero minore di 1. [p. 145 modifica]

Allora sarebbe

{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\leq k

,

{\frac {a_{3}}{a_{2}}}\leq k,\ldots

,

{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k

;

donde, moltiplicando membro a membro:

${\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}\leq k^{n}$ ,

ossia:

a_{n+1}\leq a_{1}k_{n}

.

I termini della nostra serie

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots$

sarebbero ordinatamente minori o uguali dei termini della progressione geometrica decrescente

$a_{1}+a_{1}k+a_{1}k^{2}+\ldots$

Quindi la nostra serie sarebbe convergente.

In modo analogo si prova che, se per tutti i valori di $n$ è ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1$ , la nostra serie è divergente.

Per il primo caso, per esempio, invece di ammettere che fosse

(5)	${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k<1$

per tutti i valori di $n$ , basterebbe ammettere che questa disuguaglianza valesse a partire da un certo valore di $n$ in poi, per esempio, per $n\geq m$ . La serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$ sarebbe ancora convergente.

Infatti, essendo soddisfatta la (5) per $n\geq m$ , è convergente la serie

$a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots$

e quindi anche (§ 42, γ, pagina 142) la serie

$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{m-1}+a_{m}+a_{m+1}+\ldots$

Considerazioni analoghe valgono pel secondo caso.

Concludendo si ha il teorema: Se in una serie a termini positivi

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$

il rapporto $\mathrm {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ di un termine al precedente, da un certo punto in poi (ossia per $n$ maggiore o uguale ad un certo $m$ ), è uguale o minore di un numero fisso k minore di 1, la serie è [p. 146 modifica]convergente; se detto rapporto è maggiore od uguale ad 1, la serie è divergente.

Se ne deduce facilmente il seguente corollario, molto utile in pratica: Se in una serie a termini tutti positivi (o tutti negativi) il rapporto di un termine al precedente ha un limite minore di 1 ² la serie è convergente; se ha un limite maggiore di 1, la serie è divergente. Sia $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\alpha <1$ . Sia k un numero compreso tra $\alpha$ ed $1$ . Poniamo $\epsilon =k-\alpha$ . Esisterà oer definizione di limite un intero m tale che per $n\geq m$ (cioè quando n è nell'intorno $<8m,\infty )$ di $\infty$ ), valgono le

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-\alpha =\epsilon$ , $\alpha -{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<\epsilon$ .

e in particolare quindi la ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<\alpha +\epsilon =k<1$ . Quindi per il teorema precedente la serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ sarà convergente.

Se invece $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1$ , allora ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ finirà per diventare e restare maggiore od uguale a 1; pel teorema precedente, la serie sarà divergente³.

Se $\lim {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ non esiste, o vale $1$ nulla si può affermare in generale.

Un altro criterio di convergenza sarà dato al § 63, δ.

Es. La serie $1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+\cdots$ è convergente. [p. 147 modifica]Infatti in questo caso

$a_{n}={\frac {1}{\lfloor {n-1}}},{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {1}{\lfloor {n}}}:{\frac {1}{\lfloor {n-1}}}={\frac {1}{n}}$

e quindi

$\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=0$ .

Vedremo in seguito che la somma di questa serie è proprio il numero e.

Si voglia calcolare la somma $S$ di questa serie con l'approssimazione di ${\frac {1}{4000}}$ . Si osservi che la somma di tutti i termini sono lo $n^{mo}$ termine uguaglia.

${\frac {1}{\lfloor {n}}}{\begin{Bmatrix}1+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+\cdots \end{Bmatrix}}=<{\frac {1}{\lfloor {n}}}{\begin{Bmatrix}1+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}+\cdots \end{Bmatrix}}$

${\frac {1}{\lfloor {n}}}-{\frac {1}{1-{\frac {1}{n+1}}}}={\frac {n+1}{n\lfloor {n}}}$ .

Se dunque scegliamo n così grande che ${\frac {n+1}{n\lfloor {n}}}<{\frac {1}{4000}}$ , la somma dei primi n termini della nostra serie differisce dal valore vero della serie per meno di ${\frac {1}{4000}}$ . Ora questa disuguaglianza è soddisfatta per $n=7$ . Quindi si può scrivere:

$S=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{\lfloor {2}}}+{\frac {1}{\lfloor {3}}}+{\frac {1}{\lfloor {4}}}+{\frac {1}{\lfloor {5}}}+{\frac {1}{\lfloor {6}}}$ con un errore (in difetto) minore di ${\frac {1}{4000}}$ . Con tre cifre decimali esatte è quidni $S=2,718$ .

Oss. In generale la somma $s_{n}$ dei primi n termini di una serie convergenze rappresenta la somma $S$ della serie con un errore che si può rendere piccolo a piacere scegliendo n abbastanza grande. Una serie è tanto più convergente al calcolo effettivo (converge tanto più rapidamente) quanto maggiore è l'approssimazione che si ottiene dando ad n valori non troppo grandi. Così, p. es., se i termini di $a_{n}$ di una serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ sono positivi, e se ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k<1$ la serie, come sappiamo, [p. 148 modifica]è convergente; ed essa sarà generalmente tanto più comoda al calcolo numerico, quanto più piccolo si può scegliere k in modo da soddisfare alle precedenti disuguaglianze. Lo studioso può illustrare questo fatto con esempi numerici, e anche ricorrendo soltanto a progressioni geometriche decrescenti.

Note

↑ Da questo segue che i rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sono minori di 1. Non è però vero viceversa che, se tutti questi rapporti sono minori di 1, allora esista necessariamente una tale numero k minore di 1, e non minore dei nostri rapporti (come avverrebbe se i rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ fossero in numero finito); e ciò perchè potrebbe avvenire che il limite superiore di tali rapporti fosse proprio uguale ad 1. Infatti, per esempio, nella serie divergente ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots$ è $u_{n}={\frac {1}{n}},{\frac {u_{n}+1}{u_{n}}}={\frac {n}{n+1}}=\left[1-{\frac {1}{n+1}}\right]$ . Tutti questi rapporti sono minori di 1. Ciò nonostante, se k è un qualsiasi numero positivo minore di 1, si può trovare un intero h così grande che per $m>h$ sia $1-{\frac {1}{m+1}}>k$ . Dunque, pure essendo tutti i nostri rapporti minori di 1, ciò nonostante, preso un qualsiasi numero $k<1$ , infiniti dei nostri rapporti sono maggiori di k, perchè il loro limite superiore è proprio uguale ad 1.
↑ Si potrebbe dire anche: minore di un numero k minore di 1. Ma questa frase più complicata sarebbe nel caso attuale equivalente a quella più semplice del testo.
↑ La convergenza di $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ nel caso che $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<math><1$ si può anche in modo meno completo, ma più intuitivo, esporre così. Se ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ tende ad $\alpha <1$ , esso finisce col diventare e restare tanto vicino quanto si vuole ad $\alpha$ : cioè, se k è un numero compreso tra α ed 1, il rapporto ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ , da un certo valore di n in poi, sarà minore di $k<1$ . E quindi la serie converge. Del resto (oss. 6, pag. 109) sappriamo già che dalla $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\alpha <k$ si deduce che da un certo valore di n in poi il rapporto ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<k$ .

[1] Da questo segue che i rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sono minori di 1. Non è però vero viceversa che, se tutti questi rapporti sono minori di 1, allora esista necessariamente una tale numero k minore di 1, e non minore dei nostri rapporti (come avverrebbe se i rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ fossero in numero finito); e ciò perchè potrebbe avvenire che il limite superiore di tali rapporti fosse proprio uguale ad 1. Infatti, per esempio, nella serie divergente ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots$ è $u_{n}={\frac {1}{n}},{\frac {u_{n}+1}{u_{n}}}={\frac {n}{n+1}}=\left[1-{\frac {1}{n+1}}\right]$ . Tutti questi rapporti sono minori di 1. Ciò nonostante, se k è un qualsiasi numero positivo minore di 1, si può trovare un intero h così grande che per $m>h$ sia $1-{\frac {1}{m+1}}>k$ . Dunque, pure essendo tutti i nostri rapporti minori di 1, ciò nonostante, preso un qualsiasi numero $k<1$ , infiniti dei nostri rapporti sono maggiori di k, perchè il loro limite superiore è proprio uguale ad 1.

[2] Si potrebbe dire anche: minore di un numero k minore di 1. Ma questa frase più complicata sarebbe nel caso attuale equivalente a quella più semplice del testo.

[3] La convergenza di $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ nel caso che $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<math><1$ si può anche in modo meno completo, ma più intuitivo, esporre così. Se ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ tende ad $\alpha <1$ , esso finisce col diventare e restare tanto vicino quanto si vuole ad $\alpha$ : cioè, se k è un numero compreso tra α ed 1, il rapporto ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ , da un certo valore di n in poi, sarà minore di $k<1$ . E quindi la serie converge. Del resto (oss. 6, pag. 109) sappriamo già che dalla $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\alpha <k$ si deduce che da un certo valore di n in poi il rapporto ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<k$ .

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