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SERIE

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Infatti in questo caso

$a_{n}={\frac {1}{\lfloor {n-1}}},{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {1}{\lfloor {n}}}:{\frac {1}{\lfloor {n-1}}}={\frac {1}{n}}$

e quindi

$\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=0$.

Vedremo in seguito che la somma di questa serie è proprio il numero e.

Si voglia calcolare la somma $S$ di questa serie con l'approssimazione di ${\frac {1}{4000}}$. Si osservi che la somma di tutti i termini sono lo $n^{mo}$ termine uguaglia.

${\frac {1}{\lfloor {n}}}{\begin{Bmatrix}1+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+\cdots \end{Bmatrix}}=<{\frac {1}{\lfloor {n}}}{\begin{Bmatrix}1+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}+\cdots \end{Bmatrix}}$

${\frac {1}{\lfloor {n}}}-{\frac {1}{1-{\frac {1}{n+1}}}}={\frac {n+1}{n\lfloor {n}}}$.

Se dunque scegliamo n così grande che ${\frac {n+1}{n\lfloor {n}}}<{\frac {1}{4000}}$, la somma dei primi n termini della nostra serie differisce dal valore vero della serie per meno di ${\frac {1}{4000}}$. Ora questa disuguaglianza è soddisfatta per $n=7$. Quindi si può scrivere:

$S=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{\lfloor {2}}}+{\frac {1}{\lfloor {3}}}+{\frac {1}{\lfloor {4}}}+{\frac {1}{\lfloor {5}}}+{\frac {1}{\lfloor {6}}}$ con un errore (in difetto) minore di ${\frac {1}{4000}}$. Con tre cifre decimali esatte è quidni $S=2,718$.

Oss. In generale la somma $s_{n}$ dei primi n termini di una serie convergenze rappresenta la somma $S$ della serie con un errore che si può rendere piccolo a piacere scegliendo n abbastanza grande. Una serie è tanto più convergente al calcolo effettivo (converge tanto più rapidamente) quanto maggiore è l'approssimazione che si ottiene dando ad n valori non troppo grandi. Così, p. es., se i termini di $a_{n}$ di una serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ sono positivi, e se ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k<1$ la serie, come sappiamo,