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serie

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Allora sarebbe

${\frac {a_{2}}{a_{1}}}\leq k$,

${\frac {a_{3}}{a_{2}}}\leq k,\ldots$,

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k$;

donde, moltiplicando membro a membro:

${\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}\leq k^{n}$,

ossia:

$a_{n+1}\leq a_{1}k_{n}$.

I termini della nostra serie

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots$

sarebbero ordinatamente minori o uguali dei termini della progressione geometrica decrescente

$a_{1}+a_{1}k+a_{1}k^{2}+\ldots$

Quindi la nostra serie sarebbe convergente.

In modo analogo si prova che, se per tutti i valori di $n$ è ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1$, la nostra serie è divergente.

Per il primo caso, per esempio, invece di ammettere che fosse

(5)	${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k<1$

per tutti i valori di $n$, basterebbe ammettere che questa disuguaglianza valesse a partire da un certo valore di $n$ in poi, per esempio, per $n\geq m$. La serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$ sarebbe ancora convergente.

Infatti, essendo soddisfatta la (5) per $n\geq m$, è convergente la serie

$a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots$

e quindi anche (§ 42, γ, pagina 142) la serie

$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{m-1}+a_{m}+a_{m+1}+\ldots$

Considerazioni analoghe valgono pel secondo caso.

Concludendo si ha il teorema: Se in una serie a termini positivi

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$

il rapporto $\mathrm {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ di un termine al precedente, da un certo punto in poi (ossia per $n$ maggiore o uguale ad un certo $m$), è uguale o minore di un numero fisso k minore di 1, la serie è con-

10 — G. Fubini, Analisi matematica.