Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 35

by Guido Fubini

Capitolo 6 - Primi teoremi sui limiti

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 35. — Primi teoremi sui limiti.

Enunceremo e dimostreremo questi teoremi per le funzioni reali.

Tali teoremi valgono però, come apparirà evidente, anche per funzioni complesse.

È ben evidente che, se due quantità $y_{1}$, $y_{2}$ si avvicinano indefinitamente a (hanno per limite) due numeri finiti $l_{1}$, $l_{2}$, la loro somma, la loro differenza, il loro prodotto e il loro quoziente (se $l_{2}\not =0$) si avvicinano indefinitamente a $l_{1}+l_{2}$, $l_{1}-l_{2}$, $l_{1}\,l_{2}$, ${\frac {l_{1}}{l_{2}}}$ (nell’ultimo caso si suppone $l_{2}\not =0$). Questa semplice osservazione si enuncia rigorosamente, e in modo più generale, coi seguenti teoremi:

$\alpha )$ Se $\mathrm {y_{1},y_{2},\ldots y_{n}}$ sono funzioni della x definite in uno stesso gruppo G, e se, per esempio, per $\mathrm {x=a+0}$ esse hanno dei limiti $\mathrm {l_{1},l_{2},\ldots l_{n}}$ finiti, allora per $\mathrm {x=a+0}$, la somma $\mathrm {y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}}$ ha per limite la somma $\mathrm {l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}}$ dei limiti.

Dimostreremo il teorema nel caso $n=2$; il caso generale si tratta, o con metodo analogo, oppure col metodo di induzione completa, osservando che:

$(y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n})=(y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n-1})+y_{n}$.

Sia $\eta$ un numero arbitrario: esisterà un intorno destra $\alpha _{1}$ di a in cui $|y_{1}-l_{1}|<\eta$, ed un intorno $\alpha _{2}<$ di a, in cui $|y_{2}-l_{2}|<\eta$. Se $\alpha$ è un intorno intero tanto ad $\alpha _{1}$ che ad $\alpha _{2}$, allora in $\alpha$ valgono entrambe le precedenti disuguaglianze; donde si deduce:

$|(y_{1}+y_{2})-(l_{1}+l_{2})|\leq |y-l_{1}|+|y_{2}-l_{2}|<\eta +\eta =2\eta$.

Quindi, dato un numero $\varepsilon$ piccolo a piacere e positivo, se ne deduce, posto $\eta ={\frac {\varepsilon }{2}}$, che esiste un intorno $\alpha$ di a, in cui $(y_{1}+y_{2})-(l_{1}+l_{2})$ è minore di $2\eta =\varepsilon$ in valore assoluto.

c.d.d.

Osservazione Per stabilire la precedente disuguaglianza sono partito dalla $|a+b|\leq |a|+|b|$ del § 4, $\delta$, pagina 13.

$\beta )$ Nelle stesse ipotesi di $\alpha )$ il limite del prodotto $\mathrm {y_{1},y_{2}\ldots y_{n}}$ esiste ed è uguale al prodotto $\mathrm {l_{1},l_{2}\ldots l_{n}}$ dei limiti.

Supponiamo, come sopra, $n=2$. Come sopra si dimostra che, dato un numero positivo $\eta$ qualsiasi, esiste un intorno $\alpha$ di a, in cui valgono entrambe le $|y_{1}-l_{1}|\leq \eta$, $|y_{2}-l_{2}|\leq \eta$.

Si avrà in tale intorno:

$|y_{1}y_{2}-l_{1}l_{2}|=$

$=|y_{1}(y_{2}-l_{2})+l_{2}(y_{1}-l_{1})|\leq |y_{1}||y_{2}-l_{2}|+|l_{2}||y_{1}-l_{1}|$

$\leq ||l_{1}|+\eta |\eta +|l_{2}|\eta \leq \eta ||l_{1}|+|l_{2}|+\eta |$.

Sia ora $\varepsilon$ un numero piccolo a piacere; scelto $\eta$ tale che $\eta <1$. $\eta <{\frac {\epsilon }{1+|l_{1}|+|l_{2}|}}$, esisterà un intorno $\alpha$ di a in cui: $|y_{1}y_{2}-l_{1}l_{2}|\leq \eta ||l_{1}|+|l_{2}|+\eta |<{\frac {\epsilon }{1+|l_{1}|+|l_{2}|}}||l_{1}|+|l_{2}|+1|=\epsilon$ ossia: $|y_{1}y_{2}-l_{1}l_{2}|<\epsilon$.                                                                                c.d.d.

$\gamma )$ Se $\lim y_{1}=l_{1}$ e se $l_{1}$ è un numero finito diverso da zero, esiste un intorno $\alpha$ di a, in cui $|y_{1}-l_{1}|<\left|{\frac {l_{1}}{2}}\right|$, e quindi $|y_{1}|>\left|{\frac {l_{1}}{2}}\right|$, $y_{1}\not =0$. In tale intorno $\alpha$ ha dunque significato il rapporto ${\frac {1}{y_{1}}}$. Analoga considerazione vale se $l_{1}=\infty$.

Teorema. Se $\lim _{x=a}y_{1}=l_{1}$, e se $l_{1}$ è un numero finito non nullo, allora $\lim _{x=a}{\frac {1}{y_{1}}}={\frac {1}{l_{1}}}$. Se invece $l_{1}=\infty$, allora $\lim {\frac {1}{y_{1}}}=0$.

Se $y_{1}$ è differente da zero nei punti di un intorno $\alpha$ di a (distinti da a) e se $\lim _{x=a}y_{1}=0$, alora $\lim _{x=a}{\frac {1}{y_{1}}}=\infty$.

Se $l_{1}=\infty ,\lim {\frac {1}{y_{1}}}=0$ e vicerversa (§ 32, B, pag. 109). Supponiamo che $l_{1}\not =0$ sia un numero finito. Se $\epsilon$ è un numero piccolo a piacere, esiste un intrno $\beta$ di $a$, in cui $|y_{1}-l_{1}|<\epsilon {\frac {l_{1}^{2}}{2}}$. Se $\gamma$ è un intorno comune a $\beta$ e all'intorno $\alpha$, di cui parla la precedente osservazione, in tale intorno $\gamma$ sarà:

$|y_{1}|>\left|{\frac {l_{1}}{2}}\right|,|y_{1}-l_{1}|<\epsilon {\frac {l_{1}^{2}}{2}}$,

donde:

$\left|{\frac {1}{y_{1}}}-{\frac {1}{l_{1}}}\right|=\left|{\frac {y_{1}-l_{1}}{y_{1}l_{1}}}\right|<{\frac {\epsilon {\frac {l_{1}^{2}}{2}}}{l_{1}{\frac {l_{1}}{2}}}}=\epsilon$.

Per ogni numero $\epsilon$ esiste quindi un intorno $\gamma$ dove $\left|{\frac {1}{y_{1}}}-{\frac {1}{l_{1}}}\right|<\epsilon$; da ciò segue tosto il nostro teorema.

Corollario Se due funzioni $y_{2},y_{1}$ sono definite nello stesso gruppo $G$ ed hanno per $x=a$ limiti finiti $l_{2},l_{1}$, e se il limite di $y_{1}$ è differente da zero, allora la frazione ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ ha significato (se il denominatore non è nullo) in un intorno $\alpha$ di a, ed il suo limite per $x=a$ è uguale al quoziente ${\frac {\mathrm {l_{2}} }{\mathrm {l_{1}} }}$ dei limiti di $\mathrm {y_{2}}$ e $\mathrm {y_{1}}$.

Ciò si dimostra osservando che ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ è il prodotto di $y_{2}$ per ${\frac {1}{y_{1}}}$.

Oss. Esistano ancora per $x=a$ i limiti delle $y_{1}$, $y_{2}$. Se $\lim y_{2}=\infty$, $\lim y_{1}\not =\infty$, allora ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ ha per limite $\infty$.

Se $\lim y_{2}\not =0$, $\lim y_{1}=0$, e se il rapporto ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ ha significato, allora $\lim {\frac {y_{2}}{y_{1}}}=\infty$.

Se $\lim y_{1}=\infty$, $\lim y_{2}\not =\infty$, allora $\lim {\frac {y_{2}}{y_{1}}}=0$.

Se dunque esistono i limiti di $y_{2}$ e di $y_{1}$, noi sappiamo trovare il limite del quoziente ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ in tutti i casi, esclusi quelli che entrambe le $y_{1}$, $y_{2}$ tendano a zero, o che entrambe tendano all’infinito. Questi casi particolari saranno da noi studiati più tardi per altra via. È naturalmente inteso [nel caso che il $\lim y_{1}$ sia nullo] che si possa parlare del rapporto ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ e che cioè nei punti di un intorno $\alpha$ di $a$ (il punto $a$ escluso), sia $y_{1}\not =0$¹.

$\delta )$ Sia $y=f(z)$, $z=\varphi (x)$; sia $\lim _{x=a}z=b$, $\lim _{x=b}y=c$. La $y$ si possa considerare come funzione $f[\varphi (x)]$ della $x$ in un intorno $a$. È intuitivo che sarà anche $\lim _{x=a}y=c$.

Se però in ogni intorno del punto $a$ esistono punti $x\not =a$, in cui la $z$ assume il valore $b$, bisogna in più ammettere che $f(b)=c$.

Infatti, preso un numero $\epsilon$ piccolo a piacere, della $\lim _{x=b}y=c$, si deduce che esiste un numero $\delta$ tale che per $z\not =b$ e $|z-b|>\delta$ è $|y-c|<\epsilon$. Dalla $\lim _{x=a}z=b$ si deduce che esiste un numero $\sigma$ tale che, se $x\not =a$ e se $|x-a<\sigma$ sia $|z-b|<\delta$. Sarà quindi anche, per quanto trovammo, $|y-c|<\epsilon$ e se $<\not =b$. La disuguaglianza $|y-c|<\epsilon$ vale anche se $z=b$ per il valore considerato della $x$, perchè per ipotesi in tal caso $y=f(b)=c$, Dunque, dato un numero $\epsilon$ piccolo a piacere, esiste un numero $\sigma$ tale che par $|x-a|<\sigma$ è $|y-c|<\epsilon$, Donde, per definizione di limite, $\lim _{x=a}y=c$.

In modo simile si tratta il caso che $c=\infty$, oppure $b=\infty$, ecc.

Note

1. Se fosse $l_{1}\not =0$, questa ultima condizione è sempre soddisfatta, come abbiamo già osservato.