Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 27

by Guido Fubini

Capitolo 5 - Sistemi di equazioni lineari omogenee

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 27 - Sistemi di equazioni lineari omogenee.

Se le $\alpha _{i}$ sono nulle, le nostre equazioni [1] del § 24 si dicono, come è noto, omogenee. I determinanti orlati (4) sono tutti nulli, perchè l’ultima colonna è tutta formata di elementi nulli. E il nostro sistema è dunque sempre risolubile; cosa, del resto, evidente a priori, perchè ognuna delle sue equazioni è soddisfatta, ponendo uguale a zero ognuna delle $x$. Se la caratteristica $h$ del sistema è proprio uguale al numero $n$ delle incognite, allora, come sappiamo dal § 26, il sistema di equazioni [1] ammette un unico sistema di soluzioni: quello che si ottiene uguagliando ogni incognita a zero. Quindi:

Un sistema di m equazioni lineari omogenee in n incognite ammette sempre un sistema di soluzioni, almeno quello formato imponendo il valore zero ad ogni incognita. Esso ammette ulteriormente altre soluzioni soltanto se la caratteristica h del sistema è inferiore al numero n delle incognite, perchè in tal caso si possono scegliere $\mathrm {n-1}$ incognite a cui si possono dare valori arbitrari (restando poi univocamente determinati i valori delle residue $h$ incognite).

In particolare, un sistema di n equazioni lineari omogenee in $n$ incognite ammette uno e quindi infiniti sistemi di soluzioni non tutte nulle soltanto se il determinante del sistema è nullo.

Sia per esempio:

(1)	$a_{r1}x_{1}+a_{r2}x_{2}+\cdots +a_{rn}x_{n}=0$
	$(r=1,2,\ldots ,n)$

il dato sistema di equazioni, che supponiamo di caratteristica $h=n-1$. Il determinante $D$ di ordine $n$ formato con tutti i loro coefficienti sarà nullo; e noi potremo supporre che sia differente da zero il seguente minore di ordine $n-1$

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &\cdots &a_{1,n-1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &\cdots &a_{2,n-1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&\cdots &\cdots &a_{n-1,n-1}\end{vmatrix}}$

che è il complemento algebrico $A_{nn}$ di $a_{nn}$ nel determinante $D$. Noi sappiamo in tal caso che, scelto ad arbitrio il valore $\mu$ di ne risulteranno determinati i valori delle altre $x$.

Posto $\lambda ={\frac {\mu }{A_{nn}}}$ (ricordo che $A_{n}n\not =0$), il valore dato ad $x$ sarà $\lambda A_{nn}$, dove $\lambda$ è una quantità arbitraria. Con questo valore della $x_{n}$, restano fissati i valori di $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}$, e senza nessun calcolo si può verificare che questi valori sono

$\lambda A_{n1},\lambda A_{n2},\ldots ,\lambda A_{n,n-1}$.

Infatti se si pone:

(2)	$x_{i}=\lambda A_{ni}\;(i=1,2,\ldots n)\;(\lambda =$costante arbitraria)

nella $r^{esima}(r=1,2,\dots n)$ delle nostre equazioni, il suo primo membro diventa $\lambda (a_{r1}A_{n1}+a_{r2}A_{n2}+\ldots +a_{rn}A_{nn})$, che è zero se $r\not =n$ (pag. 70, § 20, teorema V°), ed è pure nullo se $r=n$, perchè per $r=n$ esso diventa $\lambda D$, che è nullo per ipotesi.

Le (2) danno dunque nel caso attuale la più generale soluzione di (1).

Esempi.

1° Se $\Delta ,\Delta ',\Delta ''$ sono i discriminanti delle equazioni

$f(x)=0$;

$g(x)=0$;

$f(x)g(x)=0$,

allora, se $\Delta \not =0,\Delta '\not =0$, si ha che ${\frac {\Delta ''}{\Delta \Delta '}}$ è il quadrato del risultante delle

$f(x)=0$,

$g(x)=0$.

2° Dimostrare direttamente che un polinomio $P(x)$ di grado $n-1$ è univocamente determinato, quando se ne conoscano i valori $P(a_{1}),P(a_{2}),\cdots ,P(a_{n})$ che esso assume in n punti distinti $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$; e calcolare tale polinomio.

Posto

$P(x)=b_{0}x^{n-1}+b_{1}x^{n-2}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1}$

(1)

sarà

$\left.{\begin{array}{l}P(a_{1})=b_{0}a_{1}^{n-1}+b_{1}a_{1}^{n-2}+\cdots +b_{n-2}a_{1}+b_{n-1}\\P(a_{2})=b_{0}a_{2}^{n-1}+b_{1}a_{2}^{n-2}+\cdots +b_{n-2}a_{2}+b_{n-1}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\P(a_{n})=b_{0}a_{n}^{n-1}+b_{1}a_{n}^{n-2}+\cdots +b_{n-2}a_{n}+b_{n-1}\end{array}}\right\}$

(2)

Le (2) costituiscono un sistema di $n$ equazioni lineari nelle $n$ incognite $b_{0},b_{1},\ldots ,b_{n-2},b_{n-1}$, (i coefficienti di $P(x)$). Il determinante dei coefficienti di tali incognite è il determinante di Vandermonde dei numeri $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}$; il quale è differente da zero, perchè tali numeri sono distinti. Il teorema di Leibniz-Cramer ci assicura che le $b$ e quindi anche $P(x)$ sono univocamente determinati. Si potrebbe così dalle (2) dedurre i valori delle $b$, e sostituire in (1). Ma più direttamente, considerando le (1), (2) come un sistema di $n+1$ equazioni nelle $n$ incognite $b_{0},b_{1},\ldots ,b_{n-1}$, si trae:

${\begin{vmatrix}P(x)&x^{n-1}&x^{n-2}&\cdots &x&1\\P(a_{1})&a_{1}^{n-1}&a_{1}^{n-2}&\cdots &a_{1}&1\\P(a_{2})&a_{2}^{n-1}&a_{2}^{n-2}&\cdots &a_{2}&1\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\P(a_{n})&a_{n}^{n-1}&a_{n}^{n-2}&\cdots &a_{n}&1\end{vmatrix}}=0$

Sviluppando secondo gli elementi della prima colonna ed indicando con $V(a,b,\cdots ,c)$ il determinante di Vandermonde delle quantità $a_{1},b_{1},\ldots ,c$ si ottiene

$0=-P(a_{1})V(a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},x)+P(a_{2})V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},x)+\cdots$

$+(-1)^{n}P(a_{n})V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n-1},x)+(-1)^{n+1}P(x)V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$

donde

$P(x)=-P(a_{1})(-1)^{n}{\frac {V(a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},x)}{V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}}+$

$+P(a_{2})(-1)^{n}{\frac {V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},x)}{V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}}+\cdots +P(a_{n}){\frac {V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n-1},x}{V(a_{1},a_{2}\cdots ,a_{n})}}$.

Sopprimendo in ogni frazione del secondo membro i fattori comuni al numeratore e al denominatore si ritrova la formola del § 14 (pag. 49).

Note