Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Esercizi

Capitolo 5 - Esercizi

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Esercizi.

1° Calcolare e moltiplicare fra di loro a due a due i determinanti

; ;
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Calcolare i determinanti reciproci, verificando il teorema di pagina 80-81.

Risposta. Lo studioso farà bene a calcolare i precedenti determinanti anche con lo sviluppo secondo gli elementi di una qualche linea. Più rapidamente si può osservare che , perchè la terza riga è somma delle prime due; che , perchè si riduce al termine principale; che , perchè, scambiando la seconda e la terza riga di , se ne deduce un determinante il cui sviluppo è ridotto al suo termine principale.

Il determinante si può semplificare, per esempio, sottraendo dalla prima riga la seconda e la terza; il determinante si semplifica sottraendo dalla prima riga il doppio della seconda.

2° Calcolare

Risposta Con opportune sottrazioni di righe o di colonne si trova:

donde in particolare

.


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E con opportune addizioni di righe, si trova:

.


3° Risolvere i sistemi di equazioni seguenti:

Risposta Per il secondo sistema basta applicare la regola di Cramer; per il primo si noti che il determinante del sistema è nullo, che esso è risolvibile soltanto se , nel qual caso si può dare un valore arbitrario alla , tenendo poi conto delle sole prime due equazioni.

4° Discutere i seguenti sistemi di equazioni per tutti i valori dei coefficienti :




5° Risolvere il seguente sistema di 5 equazioni nelle 5 incognite , , , , .

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Risposta Il determinante dei coefficienti è (esempio 2° a pagina 91) uguale a .

1° Se , sarà .

2° Se , la caratteristica di è 4, perchè è differente da zero il minore formato dalle prime 4 righe ed ultime 4 colonne. Si dà allora alla un valore arbitrario e si tien conto delle prime 4 equazioni, che, essendo risultano omogenee nelle , , , a determinante non nullo, cosicchè .

3° Se , alle si possono dare valori arbitrari; e il nostro sistema si riduce al sistema:


che si discute senza difficoltà.

4° Se , il minore formato dalle prime quattro righe e ultime quattro colonne è

.

Se , questo minore è differente da zero; dato alla un valore arbitrario, si ricavino i valori di , , , , dalle prime quattro equazioni.

5° Resta da esaminare il caso che , eccetera eccetera

6° Calcolare il discriminante della equazione


e quello della , confrontando poi coi risultati già noti relativi a queste equazioni.

Risposta Per l’equazione la somma dei quadrati delle due radici vale . Quindi il discriminante vale

.


Ed è ben noto che le due radici di tale equazione sono uguali soltanto se , eccetera eccetera.

7° Per quali valori di può avvenire che l’equazione abbia due radici uguali?

8° Per quali valori delle , l’equazione ha due radici uguali?