Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Esercizi

by Guido Fubini

Capitolo 5 - Esercizi

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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Esercizi.

1° Calcolare e moltiplicare fra di loro a due a due i determinanti

$D_{1}={\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\2&3&4\end{vmatrix}}$;

$D_{2}={\begin{vmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{vmatrix}}$;

$D_{3}={\begin{vmatrix}6&3&2&1\\1&1&1&1\\3&2&1&0\\1&2&3&4\end{vmatrix}}$

$D_{4}={\begin{vmatrix}1&2&3&4\\0&0&1&5\\0&1&6&7\\0&1&0&1\end{vmatrix}}$;

$D_{5}={\begin{vmatrix}4&2&2&2\\1&1&1&1\\1&2&3&4\\3&5&7&9\end{vmatrix}}$

Calcolare i determinanti reciproci, verificando il teorema di pagina 80-81.

Risposta. Lo studioso farà bene a calcolare i precedenti determinanti anche con lo sviluppo secondo gli elementi di una qualche linea. Più rapidamente si può osservare che $D_{1}=0$, perchè la terza riga è somma delle prime due; che $D_{2}=1$, perchè $D_{2}$ si riduce al termine principale; che $D_{4}=-1$, perchè, scambiando la seconda e la terza riga di $D_{4}$, se ne deduce un determinante il cui sviluppo è ridotto al suo termine principale.

Il determinante $D_{3}$ si può semplificare, per esempio, sottraendo dalla prima riga la seconda e la terza; il determinante $D_{5}$ si semplifica sottraendo dalla prima riga il doppio della seconda.

2° Calcolare

$D={\begin{vmatrix}l&a&b&d&t\\l&m&c&e&s\\l&m&n&f&r\\l&m&n&g&k\\l&m&n&g&q\end{vmatrix}}$

$\Delta ={\begin{vmatrix}x&a&a&a&a\\a&x&a&a&a\\a&a&x&a&a\\a&a&a&x&a\\a&a&a&a&x\end{vmatrix}}$

Risposta Con opportune sottrazioni di righe o di colonne si trova:

$D={\begin{vmatrix}l&a&b&d&t\\0&m-a&c-b&e-d&s-t\\0&0&n-c&f-e&r-s\\0&0&0&g-f&k-r\\0&0&0&0&q-k\end{vmatrix}}=l(m-a)(n-c)(g-f)(q-k),$

donde in particolare

${\begin{vmatrix}l&a&b&c&d\\l&l&a&b&c\\l&l&l&a&b\\l&l&l&l&a\\l&l&l&l&l\end{vmatrix}}=l(l-a)^{4}$.

$\Delta ={\begin{vmatrix}x-a&0&0&0&a\\a-x&x-a&0&0&a\\0&a-x&x-a&0&a\\0&0&a-x&x-a&a\\0&0&0&a-x&x\end{vmatrix}}=(x-a)^{4}{\begin{vmatrix}1&0&0&0&a\\-1&1&0&0&a\\0&-1&1&0&a\\0&0&-1&1&a\\0&0&0&-1&x\end{vmatrix}}$

E con opportune addizioni di righe, si trova:

$\Delta =(x-a)^{4}{\begin{vmatrix}1&0&0&0&a\\0&1&0&0&2a\\0&0&1&0&3a\\0&0&0&1&4a\\0&0&0&0&x+4a\end{vmatrix}}=(x-a)^{4}(x+4a)$.

3° Risolvere i sistemi di equazioni seguenti:

${\begin{aligned}x+y+z&=a\\x+2y+3z&=b\\2x+3y+4z&=c\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x+y+z&=a\\x+2y+3z&=b\\2x+3y+5z&=c\end{aligned}}$

Risposta Per il secondo sistema basta applicare la regola di Cramer; per il primo si noti che il determinante del sistema è nullo, che esso è risolvibile soltanto se $c=a+b$, nel qual caso si può dare un valore arbitrario alla $z$, tenendo poi conto delle sole prime due equazioni.

4° Discutere i seguenti sistemi di equazioni per tutti i valori dei coefficienti $a,\alpha ,\beta ,\gamma ,p,q,r,l,m,n$:

${\begin{aligned}x+y+z+t&=1\\4x+5y+6z+at&=2\\2x+3y+4z+5t&=3\\-x+y-z+t&=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x+y+z+t&=0\\4x+5y+6z+at&=0\\2x+3y+4z+5t&=3\\-x+y-z+t&=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x+y+z&=l\\\alpha x+\beta y+\gamma z&=m\\\alpha ^{2}x+\beta ^{2}y+\gamma ^{2}z&=n\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x+y+z+3t=1\\\alpha x+\beta y+\gamma z+(\alpha +\beta +\gamma )t&=2\\\alpha ^{2}x+\beta ^{2}y+\gamma ^{2}z+(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})t&=3\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\alpha x+\beta y+\gamma &=0\\px+qy+r&=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\alpha x+\beta y+\gamma &=0\\px+qy+r&=0\\lx+my+n&=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x+y+z&=1\\2x+3y+4z&=2\\3x+4y+5z&=3\\6x+8y+pz&=6\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x+y+z&=1\\2x+3y+4z&=2\\4x+9y+16z&=3\\7x+13y+pz&=6\end{aligned}}$

5° Risolvere il seguente sistema di 5 equazioni nelle 5 incognite $x$, $y$, $z$, $t$, $v$.

${\begin{aligned}lx+ay+bz+ct+dv&=0\\lx+ly+az+bt+cv&=0\\lx+ly+lz+at+bv&=0\\lx+ly+lz+lt+av&=0\\lx+ly+lz+lt+lv&=0.\end{aligned}}$

Risposta Il determinante $D$ dei coefficienti è (esempio 2° a pagina 91) uguale a $l(l-a)^{4}$.

1° Se $l(l-a)^{4}\not =0$, sarà $x=y=z=t=v=0$.

2° Se $l=0,a\not =0$, la caratteristica di $D$ è 4, perchè è differente da zero il minore formato dalle prime 4 righe ed ultime 4 colonne. Si dà allora alla $x$ un valore arbitrario e si tien conto delle prime 4 equazioni, che, essendo $l=0$ risultano omogenee nelle $y$, $z$, $t$, $v$ a determinante non nullo, cosicchè $y=z=t=v=0$.

3° Se $l=a=0$, alle $x,y$ si possono dare valori arbitrari; e il nostro sistema si riduce al sistema:

${\begin{aligned}bz+ct+dv&=0\\bt+cv&=0\\bv&=0\end{aligned}}$

che si discute senza difficoltà.

4° Se $l=a\not =0$, il minore formato dalle prime quattro righe e ultime quattro colonne è

${\begin{vmatrix}a&b&c&d\\a&a&b&c\\a&a&a&b\\a&a&a&a\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a-b&b-c&c-d&d\\0&a-b&b-c&c\\0&0&a-b&b\\0&0&0&a\end{vmatrix}}=a(a-b)^{3}$.

Se $a\not =b$, questo minore è differente da zero; dato alla $x$ un valore arbitrario, si ricavino i valori di $y$, $z$, $t$, $v$, dalle prime quattro equazioni.

5° Resta da esaminare il caso che $l=a=b\not =0$, eccetera eccetera

6° Calcolare il discriminante della equazione

$x^{2}+px+q=0$

e quello della $x^{3}+px+q=0$, confrontando poi coi risultati già noti relativi a queste equazioni.

Risposta Per l’equazione $x^{3}+px+q=0$ la somma dei quadrati $s_{2}$ delle due radici vale $p^{2}-2q$. Quindi il discriminante vale

${\begin{vmatrix}2&-p\\-p&-p^{2}-2p\end{vmatrix}}=p^{2}-4q=4\left({\frac {p^{2}}{4}}-q\right)$.

Ed è ben noto che le due radici di tale equazione sono uguali soltanto se ${\frac {p^{2}}{4}}=q$, eccetera eccetera.

7° Per quali valori di $a$ può avvenire che l’equazione $x^{n}+a=0$ abbia due radici uguali?

8° Per quali valori delle $p$, $q$ l’equazione $x^{3}+px+q=0$ ha due radici uguali?