Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 18

by Guido Fubini

Capitolo 5 - Matrici

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 18. - Matrici.

$\alpha )$ Si dice matrice ad $m$ righe ed $n$ colonne l’insieme di $m\,n$ numeri o simboli, od espressioni algebriche (elementi) disposte in m righe ed n colonne¹ racchiuse tra due coppie di sbarre verticali. Così ad esempio

${\begin{Vmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\l&m&n&p\end{Vmatrix}}$

${\begin{Vmatrix}l&m&n&p&q\\h&k&r&s&t\end{Vmatrix}}$

sono rispettivamente una matrice a 3 righe e 4 colonne ed una matrice a 2 righe e 5 colonne.

Nella prima matrice gli elementi $a,b,c,d$ costituiscono la prima riga, o, come si suol dire, la riga d’indice 1; gli elementi $e,f,g,h$ costituiscono la seconda riga o la riga d’indice 2, eccetera.

Gli elementi $a,e,l$, costituiscono la colonna d’indice 1; gli elementi $b,f,m$ costituiscono la colonna d’indice 2, eccetera.

L’elemento $p$ della prima matrice è l’elemento posto nella riga d’indice 3 e nella colonna d’indice 4.

Assai spesso gli $m\,n$ simboli che costituiscono la matrice (gli elementi della matrice), si indicano con una stessa lettera dell’alfabeto (per esempio, con la lettera $a$) accompagnata da due indici che variano da elemento ad elemento; il primo è l’indice della riga, il secondo è l’indice della colonna alle quali appartiene l’elemento.

Così, per esempio, se si indicano gli elementi della prima matrice con la lettera $a$, e si vuol seguire la convenzione ora fissata, si indicheranno gli elementi della prima riga $a$, $b$, $c$, $d$ rispettivamente coi simboli $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{13}$, $a_{14}$; gli elementi $e$, $f$, $g$, $h$ rispettivamente coi simboli $a_{21}$, $a_{22}$, $a_{23}$, $a_{24}$; i quattro elementi della terza riga coi simboli $a_{31}$, $a_{32}$, $a_{33}$, $a_{34}$.

In generale una matrice a $m$ righe ed $n$ colonne s’indicherà:

${\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1,n-1}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2,n-1}&a_{2,n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{m,n-1}&a_{mn}\end{Vmatrix}}$

Il simbolo $a_{rs}$ indica l’elemento di una matrice, che appartiene alla $r^{ma}$ riga (riga d’indice $r$) ed alla $s^{ma}$ colonna (colonna d’indice $s$). Queste convenzioni si usano spesso per semplificare e rendere più chiare le notazioni.

Se $m\not =n$, la matrice dicesi matrice rettangolare; se $m=n$ si usano due sbarre verticali soltanto; e la matrice dicesi matrice quadrata o determinante di ordine $n$.

$\beta )$ Sia $k$ un numero intero positivo non superiore nè a $m$, nè a $n$; scegliamo a piacere $k$ colonne e $k$ righe tra le $n$ colonne e le $m$ righe della nostra matrice; i $k^{2}$ elementi in cui si incrociano le $k$ righe e le $k$ colonne scelte si troveranno disposti in modo da costituire una matrice quadrata (determinante) di ordine $k$, il quale si chiama minore della data matrice.

Così, per esempio, se $m=4$, $n=5$ si scelgano tre colonne, per esempio, la 2^a, la 4^a, la 5^^a e tre righe, per esempio, la 2^a, la 3^a, la 4^a.

I nove elementi determinati dalle intersezioni di dette righe e colonne formano il determinante ${\begin{vmatrix}a_{22}&a_{24}&a_{25}\\a_{32}&a_{34}&a_{35}\\a_{42}&a_{44}&a_{45}\end{vmatrix}}$, che è un minore del terzo ordine contenuto nella matrice considerata.

I minori del 1° ordine sono gli stessi elementi della matrice.

$\gamma )$ Tra gli elementi si una matrice quadrata di ordine $n$ sono specialmente notevoli gli $n$ elementi della diagonale principale: cioè quelli che appartengono a riga e colonna di ugual indice. Per esempio, nel determinante ${\begin{vmatrix}a&b&c&d\\\alpha &\beta &\gamma &\delta \\A&B&C&D\\p&q&r&s\end{vmatrix}}$ di ordine 4, la diagonale principale è costituita dai 4 elementi $a,\beta ,C,s$.

Diciamo che abbiamo trasposto (scambiato) due righe, per esempio la $i^{esima}$ e la $j^{esima}$ se scriviamo la $i^{esima}$ riga al posto della $j^{esima}$ e viceversa. Altrettanto dicasi per le colonne. Così, per esempio, dal precedente determinante si ottiene il determinante ${\begin{vmatrix}a&b&c&d\\A&B&C&D\\\alpha &\beta &\gamma &\delta \\p&q&r&s\end{vmatrix}}$, trasparendo la seconda e la terza riga.

Note

1. É inutile definire il significato della frase: «simboli disposti in una riga o in una colonna». Gli esempi seguenti basteranno a renderne chiaro il senso.