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capitolo v — § 18-19

$\gamma )$ Tra gli elementi si una matrice quadrata di ordine $n$ sono specialmente notevoli gli $n$ elementi della diagonale principale: cioè quelli che appartengono a riga e colonna di ugual indice. Per esempio, nel determinante ${\begin{vmatrix}a&b&c&d\\\alpha &\beta &\gamma &\delta \\A&B&C&D\\p&q&r&s\end{vmatrix}}$ di ordine 4, la diagonale principale è costituita dai 4 elementi $a,\beta ,C,s$.

Diciamo che abbiamo trasposto (scambiato) due righe, per esempio la $i^{esima}$ e la $j^{esima}$ se scriviamo la $i^{esima}$ riga al posto della $j^{esima}$ e viceversa. Altrettanto dicasi per le colonne. Così, per esempio, dal precedente determinante si ottiene il determinante ${\begin{vmatrix}a&b&c&d\\A&B&C&D\\\alpha &\beta &\gamma &\delta \\p&q&r&s\end{vmatrix}}$, trasparendo la seconda e la terza riga.

§ 19. - Definizione di determinante.

I determinanti si considerano come simboli comodi a scriversi per indicare certe quantità che ora definiremo¹.

Un determinante $|a|$ del primo ordine si considera come identico al suo unico elemento $a$. Tale nozione non è però usata, perchè con $|a|$ si indica invece di solito non un determinante, ma bensì il valore assoluto o modulo di $a$. Molti dei seguenti teoremi non hanno del resto senso per determinanti di primo ordine.

Un determinante ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$ del secondo ordine si considera come un simbolo equivalente alla differenza $ad-bc$. (Ciò che, come è facile a riconoscere, è conforme alla seguente definizione).

Noi ora, supposto noto il significato di un determinante di ordine $n-1$, definiamo il valore di un determinante di ordine $n$. (Abbiamo così una definizione generale per induzione completa). I determinanti più usati sono quelli del secondo, del terzo e del quarto ordine.

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1. Taluni usano due coppie di sbarre verticali per scrivere un determinante, pensato come matrice quadrata, usando poi due sole sbarre verticali se si vuole indicare il valore che ora definiremo.