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capitolo iv — § 15-16

Ma, poichè $\alpha$ e $\beta$ sono primi tra loro, $\alpha ^{n}$ è primo con $\beta ,\beta ^{n}$ con $\alpha$. Se ne deduce tosto che $a_{0}$ è divisibile per $\beta ,a_{n}$ divisibile per $\alpha$.                c. d. d.

Ponendo $\beta =1$ in questo teorema si ha:

Corollario Le radici intere della nostra equazione a coefficienti interi sono tutte divisori del termine noto $\mathrm {a_{0}}$.

Se $a_{0}=1$ dal precedente teorema si trae:

Corollario Se $\mathrm {a_{0}=1}$, la nostra equazione non può avere radici fratte, ma soltanto al più radici intere.

Questi teoremi riducono a pochi tentativi la ricerca delle radici intere o fratte di una equazione algebrica. E si potrebbero aggiungere altri teoremi dello stesso tipo, che abbrevierebbero ancora la ricerca.

§ 16. - Polinomii a coefficienti reali.

Supponiamo che i coefficienti $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ del polinomio

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}+ax^{x-1}+\ldots +a_{n-1}+a_{n}$

sieno numeri reali. Ciononostante le radici $\alpha$ possono essere numeri complessi (come è ben noto già dalla teoria delle equazioni di secondo grado). Sia $\beta +i\gamma$ una tale radice. Sarà

$P(\beta +i\gamma )=a_{0}(\beta +i\gamma )^{n}+a_{1}(\beta +i\gamma )^{n-1}+\ldots +a_{n}(\beta +i\gamma )+a_{n}=0$.

Il numero complesso coniugato sarà pure nullo.

Tale numero si deduce dal precedente cambiando $i$ in $-i$. Ma questo cambiamento non muta i coefficienti $a_{0},a_{1},\ldots$, che sono reali. Dunque questo numero immaginario coniugato, che è ancora nullo, vale:

$P(\beta -i\gamma )=a_{0}(\beta -i\gamma )^{n}+a_{1}(\beta -i\gamma )^{n-1}+\ldots +a_{n-1}(\beta -i\gamma )+a_{n}=0$.

E questa uguaglianza dimostra che anche $\beta -i\gamma$ è radice dell’equazione $P(x)=0$.

Tra i fattori lineari $x-\alpha$, in cui è decomposto $P(x)$ figurano perciò entrambi i fattori $[x-(\beta +i\gamma )]$ e $[x-(\beta -i\gamma )]$: il cui prodotto è il fattore reale di secondo grado $p_{1}(x)=(x-\beta )^{2}+\gamma ^{2}=x^{2}-2\beta x+(\beta ^{2}+\gamma ^{2})$. E il polinomio $P(x)$ è divisibile per questo fattore. Il quoziente $P_{1}(x)$ sarà ancora polinomio a coefficienti reali. E, se la equazione $P_{1}(x)=0$ possiede qualche radice immaginaria (che sarò pure radice di $P(x)=0$), allora $P_{1}(x)$ sarà ancora divisibile per un polinomio $p_{2}(x)$ di secondo grado a coefficienti reali. Sarà perciò $P_{1}(x)=p_{2}(x)P_{2}(x)$, e quindi $P(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)P_{2}(x)$, dove $P_{2}(x)$ è ancora un polinomio. E così via. Se ne deduce:

Ogni polinomio P(x) a coefficienti reali si può scomporre nel prodotto di polinomii di primo o di secondo grado a coeffi-