Lezioni di analisi matematica/Capitolo 21/Paragrafo 136

by Guido Fubini

Capitolo 21 - Integrazione meccanica

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 21 - Integrazione meccanica

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Indice riassunti ed esempi

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§ 136. — Integrazione meccanica.

È noto che il calcolo dell'integrale di una funzione non si può eseguire per via grafica (nota a pag. 325); con metodo grafico si possono risolvere le equazioni algebriche. Le scienze applicate dànno numerosi e svariati metodi di calcolo grafico.

Accanto ad essi esistono metodi meccanici per i calcoli più molteplici: ci basta ricordare le macchine così note per eseguire le operazioni fondamentali dell'artimetica.

Più semplici assai di esse sono gli strumenti che, pure ricorrendo al disegno, servono ad eseguire le integrazioni, e che si dividono in due categorie: gli integrafi, che calcolano gli integrali indefiniti, ed i planimetri, che calcolano gli integrali definiti, o più generalmente le aree delle figure piane. Di planimetri esistono tipi svariatissimi; e noi ne studieremo, a titolo di esempio, soltanto due. Avverto che noi studiamo i tipi teoricamente più semplici, ma non parliamo del semplicissimo planimetro di Prytz, perchè non è troppo preciso.

A) Intergrafo di Abdank-Abahanowicz.

Al § 73, pag. 238, abbiamo già citato alcune applicazioni di questo intergrafo al calcolo numerico delle radici di una equazione algebrica. Tale apparecchio risolve il problema seguente: Disegnata una curva $\mathrm {f(x)}$, tracciare una qualsiasi delle curve $\mathrm {y=\int f(x)dx}$. Esso è fondato sul fatto sperimentale che se una rotella ruota senza strisciare su un foglio di carta ed è sempre contenuta in un piano perpendicolare al foglio stesso, allora il punto di contatto della rotella e del foglio descrive una curva le cui tangenti sono date dall'intersezione del piano del foglio col piano della rotella. Ecco una descrizione soltanto schematica di detto intergrafo.

Sia $y=f(x)$ una curva $C$; e sia $C'$ la curva $y=F(x)$ dove $F(x)=f0(x)$, cosicchè $f(x)=\int F(x)dx$. Sia $x=a$ un punto $A'$ dell'asse delle $x$ e siano $A_{1},A_{2}$ i punti corrispondenti delle curve $y=F(x)=f'(x)$ ed $y=f(x)$. Sia $B$ quel punto dell'asse delle $x$ tale che il segmento $BA'=1$¹.

Il coefficiente angolare della tangente alla curva $y=f(x)$ per math>x=a</math>, ossia nel punto $A_{2}$, vale $f'(a)=F(a)$.

Il coefficiente angolare della retta $BA_{1}$ vale:

${\frac {A'A_{1}}{BA'}}={\frac {F(a)}{1}}=F(a)$.

Queste due rette hanno dunque ugual coefficiente angolare, e sono percià parallele.

Supponiamo di aver disegnata la curva $=F(x)$ e di voler tracciare la curva $y=f(x)$, mentre una punta ascrivente $A_{1}$ descrive la $y=F(x)$. L'intergrafo porta un parallelogrammo articolato, un lato $\lambda _{1}$ del quale coincide sempre con la reta $BA_{1}$, ipotenusa del triangolo rettangolo $BA'A_{1}$, che ha un cateto $BA'$ posto sull'asse delle $x$ ed è eguale a $1$. Il lato $\lambda _{2}$ opposto del parallelogramma sarà costantemente una retta parallela a $BA_{1}$; esso porta una rotella $A_{2}$ tenuta sul prolungamento di $A'a_{1}$, e in un piano passante per $\lambda _{2}$ e normale al piano del foglio. Il punto $A_{2}$ di contatto di tale rotella descrive dunque una curna $y=f(x)$ che ha in $A_{2}$ per tangente la retta $\lambda _{2}$ parallela a $\lambda _{1}$. Il coefficiente angolare $f'(x)$ di tale tangente è così uguale al coefficiente angolare $F(x)$ di $\lambda _{1}$. È perciò, come si voleva, $f0(x)=F(x)$. La indeterminazione di una costante additiva per la funzione $f(x)$ corrisponde dell'intergrafo all'arbitrarietà della posizione iniziale della rotella lungo l'ordinata di $A_{1}$.

L'intergrafo di Abdank è costruito in modo diverso per assicurarne il buon funzionamento. Il principio fondamentale è però quello da noi esposto.

B)₁ Un primo tipo di planimetro.

Noi descriviamo ora un planimetro con un disco. Esso è poco pratico, e l'ingegnere di solito gli sostituisce il planimetro di Corradi a sfera e cilindro, senza filo. Ma, poichè la teoria di quest'ultimo è affatto analoga a quella che qui esporremo, e che presenta caratteri di speciale semplicità, così resta giustificata la scelta del planimetro, che qui descriviamo.

Tale planimetro consiste essenzialmente in un disco circolare piano $D$ di centro $O$, il quale può essere dotato di due movimenti; uno di traslazione parallelamente all'asse della $y$, e uno di rotazione intorno al suo asse centrale $O$. Per poter scorrere parallelamente all'asse delle $y$ il disco in questione è guidato generalmente da tre piccole rotaie. Attorno all'asse centrale del disco è avvolto un filo $l$; quando si tende il filo e lo si svolge dall'asse, il disco acquista un movimento di rotazione e l'angolo di rotazione è proporzionale all'allungamento del filo. Questo filo da una speciale disposizione strumentale (un'asta) è tenuto sempre parallelo all'asse delle $x$.

Quando l'estremità mobile $C$ del filo ha un movimento parallelo all'asse delle $y$, tutto l'apparecchio ad esso solidale riceve pure un tale movimento; e il disco di asse $O$ non ruota.

Fig. 47. Quando invece il punto $C$ riceve un movimento parallelo all'asse delle $x$, l'asse $O$ del disco rimane fisso, il filo si allunga e si svolge imprimendo n movimento di rotazione al disco di un angolo proporzionale allo spostamento ricevuto da $C$.

Al piede della perpendicolare calata dal centro $O$ del disco $D$ all'asse delle $x$ vi è una rotellina $R$ tangente a $D$, posta in quel piano perpendicolare al piano del disco, che passa per l'asse delle $x$, e tenuta in contatto col disco stesso. tale rotellina è munita di contagiri. Col suo moto di rotazione il disco $D$ imprimerà ad $R$ pure un movimento di rotazione: un contagiri misura il numero dei giri e frazioni di giro compiuti da $R$.

Vediamo che cosa avviene quando l'estremità mobile $C$ del nostro filo (che porta una punta) percorre una curva $y=f(x)$.

Supponiamo, p. es., la $f(x)$ crescente come nel caso della figura. Man mano che la punta $C$cammina sulla curva, il filo si innalza e si allunga verso destra, così che il disco si innalza e insieme ruota. Dico che l'integrale $\mathrm {\int _{a}^{b}f(x)dx}$ è proporzionale al numero di giri, contato dal contagiri, compiuti dalla rotellina $\mathrm {R}$, mentre la punta $\mathrm {C}$ percorre il pezzo di curva $\mathrm {y=f(x)}$ che si proietta nel segmento $\mathrm {(a,b)}$.

Il coefficiente di proporzionalità varierà poi secondo le dimensioni dell'apparecchio e le unità di misura scelte. Dimostreremo il teorema, usando senz'altro locuzioni abbreviate.

Osserviamo anzitutto che, mentre il disco si innalza o si abbassa parallelamente all'asse delle $y$, la rotella non gira.

Affinchè la rotella $R$ giri bisogna che:

1° Il filo $OC$ si svolga dall'asse $O$ e faccia rotare il disco $D$.

2° La rotella non si trovi sul centro $O$ del disco, ma sia eccentrica.

Ed è anzi be evidente che l'angolo di cui gira la rotella è proporzionale a due quantità:

$\alpha$) l'allungamento dei fili $OC$; $\beta$) la distanza $OR$ da $R$ al centro $O$ del disco $D$.

Dividiamo ora l'intervallo $(a,b)$ in infiniti segmenti infinitesimi; e sia $\delta$ uno di questi intervallini. In esso la $y$ si può considerare come costante (cfr. § 99); e mentre $C$ percorre il tratto $CD$ di curva corrispondente, la distanza $OR$ sarà appunto uguale alla $y$ di un punto di questo pezzo di curva.

L'allungamento del filo sarà uguale alla lunghezza $dx$ della proiezione $\delta$ del nostro pezzo di curva sull'asse della $x$; e quindi, per quant dicemmo, l'angolo di cui gira la rotella $R$ (mentre $C$ percorre il tratto $CD$ di curva che siproietta in $\delta$) è proporzionale tanta ala $y$ che a $dx$, e perciò, a meno di un fattore costante $h$, che dipende dalle dimensioni dell'apparecchio $ydx$². Il numero dei giri compiuto da $R$, mentre l'estremintà $C$ del filo descrive tutto il pezzo di curva $y=f(x)$ che si proietta nell'intervallo $(a,b)$, è proporzionale alla somma degli angoli di cui $R$ ruota nei singoli intervallini parziali $\delta$. tale numero di giri è dnque proporzionale a

                                                  $\int _{a}^{b}f(x)dx$,                                        c. d. d. Questo planimetro può in modo affatto simile servire al calcolo dell'area non solo di rettangoloidi, ma di figure piane qualsiasi, come il lettore può facilmente dimostrare.

B)₂ Planimetri di Amsler.

Un'asta rettilinea $AB$ porti a un estremo $A$ una rotella $R$ posta in un piano normale ad $AB$ e girevole intorno al suo centro $A$. Un punto $C$ della retta $AB$ sia costretto a muoversi su una linea prefissata $L$, mentre il punto $B$ descrive un cammino chiuso $\Gamma$ posto nel piano di $L$, e l'asta ritorna alla posizione iniziale. In tale movimento la rotella $R$ sia appoggiata al foglio $F$ del disegno, e compia un certo numero $N$ di giri. Si vuole, conoscendo $N$, dedurne l'area racchiusa da $\Gamma$.

A seconda della forma di $L$, cambia il nome dato al planimetro: rettilinea, se $L$ è una retta; polare, se $L$ è un cerchio; curvilineo negli altri casi.

Per semplicità occupiamoci del primo caso, supponendo che:

$\alpha$) Il cammino $\Gamma$ non interseca la linea (guida) $L$;

$\beta$) Il punto $C$ sia interno al segmento $AB$.

Supponiamo dapprima che il cammino $\Gamma$ sia composto di segmenti $\delta$ paralleli alla retta $L$ e di arghi $\gamma$ di cerchi col centro su $L$, e con raggio uguale al segmento $CB$. Quando $B$ descrive un $\delta$, la nostra asta non muta di direzione e il segmento $CB$ descrive un parallelogramma $\Delta$; quando $B$ descrive un $\gamma$, la nostra asta gira di un angolo $\varphi$, e il segmento $CB$ descrive un settore di area ${\frac {1}{2}}{\bar {CB}}^{2}\varphi$. Ma, poichè, alla fine del movimento l'asta è tornata alla posizione iniziale, la somma degli angoli $\varphi$ percorsi in un senso è uguale alla somma degli angoli $\varphi$ percorsi nel verso opposto, e i giri eseguiti corrispondentemente dalla $R$ in un verso elidono quelli eseguiti nel verso opposto. E così pure i settori descritti da $CB$, mentre l'asta ruota in un verso, hanno complessivamente un'area uguale a quella dei settori descritti da $CB$, mentre l'asta ruota nel verso opposto.

Ricordando questo, è facile riconoscere che l'area racchiusa da $\Gamma$ vale la differenza tra le aree dei parallelogrammi descritti da $CB$, quando $B$ descrive un segmento $\delta$, muovendosi, p. es., da sinistra a destra, e quelli descritti da $C$, quando $B$ descrive un segmento $\delta$, muovendosi, p. es., da destra a sinistra. Quando $B$ descrive un $\delta$, l'asta $ACB$ si muove parallelamente a sè stessa, e l'esperienza insegna che il numero dei giri compiuti da $R$ vale la distanza $d$ tra la posizione inziale e finale della sbarra divisa per la periferia $2\,\pi \,r$ di $R$ (se $r$ è il raggio di $R$), cioè vale l'area del parallelogrammo descritto dal segmento $CB$ divisa per la costante $2\,\pi \,r.{\bar {CB}}$.

L'area racchiusa da $\Gamma$ sarà dunque data dal numero $N$ totale dei giri eseguiti da $R$ (che possiamo leggere col contagiri) diviso per la cosante strumentale $2\pi r.{\bar {CB}}$. Anzi con opportuna graduazione si può leggere senz'altro il numero

${\frac {1}{2\,\pi \,r\,.\,{\bar {CB}}}}N$.

Se poi $\Gamma _{1}$ è un cammino chiuso di forma arbitraria, lo si può pensare come limite di cammini $\Gamma$ del tipo precedente. E, poichè l'esperienza insegna che, se dei cammini $\Gamma$ si avvicinano indefinitamente a un cammino $\Gamma _{1}$, allora il n umero corrispondente $N$ tende al numero $N_{1}$ di giri corrispondente a $\Gamma _{1}$, e nei casi comuni l'area racchiusa da $\Gamma _{1}$ ha per limite l'area racchiusa da $\Gamma$, se ne deduce che il precedente risultato vale per cammini chiusi $\mathrm {\Gamma }$ in generale.

FINE.

Note

1. Il lettore disegni la figura.
2. In modo preciso esso è compreso tra i prodotti di $hdx$ per il massimo o il minimo di $y$ in $\delta$. L'allievo completi questa dimostrazione senza sussidio di locuzioni abbreviate.