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capitolo xxi — § 135-136

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Se ne deduce facilmente che una frazione razionale data ad arbitrio è sviluppabile in serie di potenze della $\mathrm {z-z_{0}}$ in ogni cerchio di centro $\mathrm {z_{0}}$, il quale non contenga punti ove la frazione dicenta singolare (il cui quindi denominatore si annulla). (Cfr. il teorema di Cauchy citato in nota a piè di pag. 209).

§ 136. — Integrazione meccanica.

È noto che il calcolo dell'integrale di una funzione non si può eseguire per via grafica (nota a pag. 325); con metodo grafico si possono risolvere le equazioni algebriche. Le scienze applicate dànno numerosi e svariati metodi di calcolo grafico.

Accanto ad essi esistono metodi meccanici per i calcoli più molteplici: ci basta ricordare le macchine così note per eseguire le operazioni fondamentali dell'artimetica.

Più semplici assai di esse sono gli strumenti che, pure ricorrendo al disegno, servono ad eseguire le integrazioni, e che si dividono in due categorie: gli integrafi, che calcolano gli integrali indefiniti, ed i planimetri, che calcolano gli integrali definiti, o più generalmente le aree delle figure piane. Di planimetri esistono tipi svariatissimi; e noi ne studieremo, a titolo di esempio, soltanto due. Avverto che noi studiamo i tipi teoricamente più semplici, ma non parliamo del semplicissimo planimetro di Prytz, perchè non è troppo preciso.

A) Intergrafo di Abdank-Abahanowicz.

Al § 73, pag. 238, abbiamo già citato alcune applicazioni di questo intergrafo al calcolo numerico delle radici di una equazione algebrica. Tale apparecchio risolve il problema seguente: Disegnata una curva $\mathrm {f(x)}$, tracciare una qualsiasi delle curve $\mathrm {y=\int f(x)dx}$. Esso è fondato sul fatto sperimentale che se una rotella ruota senza strisciare su un foglio di carta ed è sempre contenuta in un piano perpendicolare al foglio stesso, allora il punto di contatto della rotella e del foglio descrive una curva le cui tangenti sono date dall'intersezione del piano del foglio col piano della rotella. Ecco una descrizione soltanto schematica di detto intergrafo.

Sia $y=f(x)$ una curva $C$; e sia $C'$ la curva $y=F(x)$ dove $F(x)=f0(x)$, cosicchè $f(x)=\int F(x)dx$. Sia $x=a$ un punto $A'$ dell'asse delle $x$ e siano $A_{1},A_{2}$ i punti corrispondenti