Lezioni di analisi matematica/Capitolo 21/Paragrafo 135
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§ 135. — Alcune funzioni di variabile complessa.
) Le funzioni sono definite per tutti i valori della da una serie di potenze, e si possono considerare perciò funzioni della , anche se è complesso.
) DImostriamo che anche una funzione razionale, cioè un quoziente di polinomi di una variabile è pure una funzione della variabile , cioè è sviluppabile in serie di potenze. Se noi introduciamo nei calcoli anche numeri complessi, l'enunciato del teor. a pag. 250-251 si può semplificare provando che ogni frazione è somma di un polinomio, di frazioni semplici del tepi 1 e dalla derivata di un'altra frazione . Applicando a quest'ultima lo stesso teorema, e così continuando, si prova che ogni frazione , e di derivate di tali frazioni semplici.
Basterà dunque provare che , o, ciò ch'è lo stesso, che è sviluppabile in serie di potenze. Se è un numero qualsiasi, si ha appunto (per la nota formola delle progressioni geometriche)
nel cerchio definito dalla: , cioè entro il cerchio di centro , la cui periferia passa per il punto . Se ne deduce facilmente che una frazione razionale data ad arbitrio è sviluppabile in serie di potenze della in ogni cerchio di centro , il quale non contenga punti ove la frazione dicenta singolare (il cui quindi denominatore si annulla). (Cfr. il teorema di Cauchy citato in nota a piè di pag. 209).
Note
- ↑ La dimostrazione del § 76 continua a valere, se ad una frazione del ripo (il cui denom., uguagliato a zero, abbia radici complesse ) sostituiamo una espressione del tipo (con costanti).