Lezioni di analisi matematica/Capitolo 21/Paragrafo 134

by Guido Fubini

Capitolo 21 - Elementi del calcolo delle variazioni

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 134. — Elementi del calcolo delle variazioni.

$\alpha$) La teoria dei massimi e dei minimi si propone di trovare il valore della variabile (o i valori delle variabili) che rendono massima o minima una data funzione. Ma talvolta si presentano problemi di massimo o di minimo di un altro tipo: il problema di cercare la funzione $\varphi (x)$ o la curva $y=\varphi (x)$ che rendono minimo qualche integrale, p. es. la curva $y=\varphi 8x)$ che passa per due punti $A,B$ di ascissa $a,b$ e che ha la minima lunghezza, ossia che rende minimo $\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(x)}}\,dx$, oppure la curva passante per due punti $A,B$ posti ad altezze differenti, tale che sia minimo il tempo impiegato da un grave che cade da $A$ a $B$ lungo la curva, ecc., ecc.

Si voglia trovare la funzione $y$ della <math<x</math>, che rende minimo l'integrale $\int _{a}^{b}f(x,y,y')\,dx$, e che assume valori dati a priori per $x=a,x=b$. Si ammetta che tale funzione possegga derivate prime e seconde finite e continue, che per la $f$ e derivate valgano nel campo che esamineremo, tutte le proprietà (continuità, ecc.) necessarie per la validità dei calcoli seguenti.

Se $y=\varphi (x)$ è la funzione cercata (supposto che esista e possegga derivate prime e seconde finite e continue), e se $z(x)$ è una funzione con derivate prima e seconda finite e continue, nulla per $x=a$ e per $x=b$, allora, qualunque sia il valore della costante $t$, la funzione $\varphi (x)+tz(x)$ assume per $x=a$ e per $x=b$ i valori prefissati; e il nostro integrale, ove si ponga $\varphi (x)+tx(x)$ al posto di $y$, ossia

$\int _{a}^{b}f[x,\varphi (x)+tz(x),\varphi '(x)+tz'(x)]dx$

diventa una funzione di $t$ che ha un minimo per $t=0$.

Sarà dunque (§ 70, pag. 226):

${\frac {d}{dt}}\int _{a}^{b}f[x,\varphi (x)+tz(x),\varphi '(x)+tz'(x)]dx=0\,\,\,\,\,$ per $t=0$

ossia (§ 89, pag. 296)

$\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}f[x,\varphi (x)+tz(x),\varphi '(x)+tz'(x)]dx=0\,\,\,\,\,$ per $t=0$

che, per il teorema del § 83, si può scrivere:

$\int _{a}^{b}\left\{z(x){\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}+z'(x){\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}\right\}_{y=\varphi +tz}\,dx=0\,\,\,\,\,$ per $t=0$

E, osservando che per $t=0$ la $\varphi +tz$ si riduce alla $\varphi$, questa equazione ci dice che la funzione $y=\varphi (x)$ cercata soddisfa alla

$\int _{a}^{b}\,z(x){\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}dx+\int _{a}^{b}\,z'(x){\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}\,dx=0$.

Integrando per parti il secondo di questi due integrali, esso diventa:

$\left[z(x){\frac {\partial f(x,y,t')}{\partial y'}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\,z(x){\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y'}}\right]\,dx$.

Il primo termine è nullo, perchè $z(x)=0$ per $x=a$ e per $x=b$. La nostra equazione si riduce così alla:

$\int _{a}^{b}z(x)\left\{{\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y'}}\right]\right\}dx=0\,\,\,$(1)

che deve valere, qualunque sia la funzione derivabile $z(x)$ nulla per $x=a$ e per $x=b$. io dico che la quantità tra $\left\{\,\,\right\}$ dovrà esser nulla, che cioè

${\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y'}}\right]=0.\,\,\,\,\,$(2)

Se infatti così non fosse, ed essa fosse differente da zero, p. es. positiva in un punto $x=c$, essa sarebbe positiva in tutto un intorno $(\alpha ,\beta )$ di $c$. Porremo in tal caso

$z(x)=(x-\alpha )^{4}(x-\beta )^{4}$ nell'intervallo $\alpha ,\beta )$,

$z(x)=0$ in tutti i punti di $(a,b)$ esterni all'intervallo $(\alpha ,\beta )$. 4La funzione $z(x)$ così definita soddisfa alle condizioni citate.

Poichè $z(x)$ è nullo fuori dall'intervallo $(\alpha ,\beta )$, la (1) si riduce alla

$\int _{\alpha }^{\beta }z(x)\left\{{\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y'}}\right)\right\}dx=0$;

ciò che è assurdo, perchè nelle attuali ipotesi, tanto $z(x)$ quanto la quantità tra graffe $\left\{\,\,\,\right\}$ sono positive in ogni punto interno all'intervallo $(\alpha ,\beta )$ di integrazione, cosicchè l'integrale è positivo e differente da zero. La nostra ipotesi è quindi assurda; vale cioè identicamente la (2), che si può scrivere esplicitamente (§ 83) così:

${\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y'}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial y'}}y'-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {y'}^{2}}}y''=0\,\,\,$(2)_bis

ed è quindi un'equazione differenziale del secondo ordine per la funzione cercata $y$ della $x$. L'integrale della 82) o (2)_bis conterrà due costanti arbitrarie, che si possono di solito determinare imponendo a tale integrale le condizioni di assumere i valori prefissati per $x=a$, o per $x=b$.

Non ci occuperemo delle ulteriori condizioni a cui deve soddisfare la funzione cercata, affinchè renda effettivamente minimo il nostro integrale.

$\beta$) Talvolta ci si propone di cercare la funzione $y$, che rende massimo o minimo l'integrale $\int _{a}^{b}\,\Phi (x,y,y')\,dx$, tra le funzioni $y$ che assumono valori prefissati per $x=a$, e per $x=b$, e che soddisfano a un'equazione $\int _{a}\,\varphi (x,y,y')dx=k$, dove $k$ è una costante prefissata a priori. Noi ci accontenteremo di enunciare che per tali problemi continui a valere il metodo del moltiplicatore indicato al § 85, $\delta$, pag. 289. Che cioè si trova una condizione necessaria, a cui deve soddisfare la funzione $y$ cercata nel modo seguente. Si indichi con $\lambda$ una costante per ora indeterminata: e, posto $f(x,y,y')=\Phi +\lambda \,varphi$, si scriva la (2), come se si volesse cercare la funzione $y$ che rende minimo $\int _{a}^{b}f(x,y,y')dx$. L'integrale della (2) conterrà due costanti arbitrarie di integrazione, oltre alla costante $\lambda$. QUeste tre costanti si determinano di solito ricordando che la $y$ per $x=a$ o per $x=b$ deve asumere i valori prefissati, e che essere $\int _{a}^{b}\varphi (x,y,y')dx=k$.

Esempi.

1° la teoria delle serie di Fourier si può interpretare fisicamente nel seguente modo. Se $x$ indica il tempo,, la $y=f(x)$, che ammette il periodo $2\pi$, può servire a misurare qualche fenomeno periodico (vibrazione di un punto, di una corda, vibrazione luminosa, ecc.). Una equazione $y=a_{n}\,{\text{cos}}\,nx+b_{n}\,{\text{sen}}\,nx$ ($n$ intero positivo, $a_{m},b_{n}$ costanti) si ritiene, come è noto dalla fisica, come misurante un fenomeno periodico elementare. La $y$ testè definita si riproduce, se l'angolo $nx$ aumenta di $2\pi$ ossia se $x$ aumenta di ${\frac {2\pi }{n}}$. In altre parole, in un intervallo di ampiezza $2\pi$, tale $y$ si riproduce $n$ volte, misura cioè un fenomeno oscillatorio, che in un intervallo di ampiezza $2\pi$ compie $n$ oscillazioni. Il nostro risultato si può dunque enunciare cosi:

Ogni fenomeno periodico, che si riproduce dopo $\mathrm {2\pi }$ unità di tempo si può decomporre nella somma (serie) di infinitifenomeni periodici elementari, che nello stesso intervallo di tempo compiono rispettivamente $1,2,3,4,.....$ oscillazioni. Per questa ragione si decompongono, p. es., i suoni emessi da uno strumento musicale nella cosidetta nota fondamentale e nei suoni armonici.

Oss. $1^{a}$. Ponendo $z={\frac {T}{2\pi }}x$, e indicando con $z$ il tempo, si passa allo studio di fenomeni periodici, che ammettono un qualsiasi periodo $T$ (anche distinto da $2\pi$). Lo stesso scopo di potrebbe ottenere variando l'unità di misura per il tempo.

$2^{a}$ Trovare la minima distanza $AB$ dal punto $A=(a,\alpha )$ a punto $(b,\beta )$.

Ris. Si deve cercare il minimo di $\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx$, ossia porre nella 82) del § 134 $f={\sqrt {1+{y'}^{2}}}$. La (2) diventa così: ${\frac {d}{dx}}{\frac {y'}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}}=0$, ossia ${\frac {y'}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}}=\,{\text{cost.}}$, o anche $y'=m$, dove $m$ è una costante arbitraria. Quindi $y=mx+n$, dove $n$ è un'altra costante arbitraria; la curva cercata è una retta. Le costanti math>m, n</math> si determinano scrivendo che essa passa per $A$ e per $B$.

$3^{a}$ Dati in un piano verticale $\pi$ due punti $A,B$, trovare la curva passante per $A$ e per $B$ tale che un grave, cadendo da $A$ a $B$ lungo questa curva, impieghi il minimo tempo possibile.

Assumiamo in $\pi$ il punto $A$ come origine, un asse delle $x$ orizzontale, un asse delle $y$ verticale volto verso il basso.

Supponiamo che la curva cercata abbia un'equazione $y=y(x)$. Noi sappiamo che la forza viva ${\frac {1}{2}}\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}$ del grave di massa $1$ con $s$ indico l'arco percorso dal grave), è uguale al lavoro compiuto dal grave nel cadere dal punto $A$, cioè è uguale alla proiezione $y$ sulla verticale dello spazio percorso moltiplicata per la solita costante $g$. Ossia:

$\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2g\,y$, $dt={\frac {ds}{\sqrt {2g\,y}}}={\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{2g\,y}}}\,dx$.

Cosicchè (se $b\not =0$ è l'ascissa di $B$) il tempo impiegato dal nostro grave nella caduta è

${\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{b}{\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{y}}}dx$.

Posto dunque nella (2) $f={\sqrt {\frac {1+{y'}^{2}}{y}}}$, la (2) diventa: ${\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {1+{y'}^{2}}}{y{\sqrt {y}}}}+{\frac {d}{dx}}\left\{{\sqrt {\frac {y}{1+{y'}^{2}}}}\right\}=0$, che si può scrivere assumendo, com'è lecito, la $y$ a variabile indipendente:

${\frac {1}{2}}{\frac {1}{y^{2}}}{\frac {\sqrt {y(1+{y'}^{2})}}{y'}}+{\frac {d}{dy}}\left\{{\frac {y'}{\sqrt {y(1+{y'}^{2})}}}\right\}=0$.

Posto ${\frac {y'}{\sqrt {y(1+{y'}^{2}}}}=z$, se ne trae ${\frac {1}{2\,y^{2}}}{\frac {1}{z}}+{\frac {dz}{dy}}=0$, ossia $2\,z\,dz+{\frac {dy}{y^{2}}}=0$.

Integrando si avrà $z^{2}={\frac {1}{y}}-m(m={\text{cost.}})$, donde:

${\frac {{y'}^{2}}{y(1+{y'}^{2})}}=\left({\frac {1}{y}}-m\right)$ ossia ${\frac {1+{y'}^{2}}{{y'}^{2}}}={\frac {!}{1-my}}$, $x=\int _{0}^{y}{\sqrt {\frac {my}{1-my}}}dy$.

Nelle nostre ipotesi ($B$ più basso di $A$, asse delle $y$ volto in basso) la $y$ lungo la curva cercata è positiva. Non può dunque essere $m<0$, perchè altrimenti $1-my>0$, e il radicale sarebbe immaginario.

Dunque, $m>0$, e si può porre $m={\frac {1}{2h^{2}}}(h={\text{cost.}})$. Di più $1-my>0$ ossia ${\frac {1}{y}}>m={\frac {1}{2\,h^{2}}}$; e si può porre ${\frac {1}{y}}={\frac {1}{2\,h^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{h}}\,{\text{tg}}\,{\frac {\varphi }{2}}\right]^{2}$, dove $0\leq \varphi \leq \pi$ è una nuova variabile di integrazione. Si ha:

$y=2\,h^{2}\,{\text{cos}}^{2}\,{\frac {\varphi }{2}}=h^{2}(1+{\text{cos}}\,\varphi ).\,\,\,\,\,$($\alpha$)

E quindi, sostituendo nel nostro integrale, e osservando che

${\sqrt {\frac {my}{1-my}}}={\text{cotg}}\,{\frac {\varphi }{2}}$,

si trova, osservando che $\varphi =\pi$ per $y=0$,

$x=h^{2}\pi -h^{2}(\varphi +\,{\text{sen}}\,\varphi ).\,\,\,\,\,$($\beta$)

Le ($\alpha$), ($\beta$) definiscono i punti della curva cercata in funzione del parametro $\varphi$. Tale curva è un cicloide.

$4^{a}$ Tra le curve $y=y(x)$ passanti per i punti di ascissa $a$ e $b$ dell'asse delle $x$, e di lunghezza prefissata $L$, trovare quella che con l'asse delle $x$ racchiude l'area massima.

Ris. In §134, $\beta$, si deve porre $\varphi ={\sqrt {1+{y'}^{2}}},\Phi =y$. La curva cercata deve dunque soddisfare a (2) ove si ponga $f=y+\lambda {\sqrt {1+{y'}^{2}}}\,(\lambda =\,{\text{cost.}})$, cioè alla

$1=\lambda {\frac {d}{dx}}\left({\frac {y'}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}}\right)$, donde:

${\frac {y'}{sqrt{1+{y'}^{2}}}}={\frac {1}{\lambda }}x+\mu \,(\mu ={\text{cost.}})$.

Il primo, e quindi anche il secondo membro, sono minori di $1$. Posto perciò

${\frac {}{\lambda }}x+\mu =\,{\text{sen}}\,\varphi \,\,\,\,\,(\varphi ={\text{nuova variabile}})$,

se ne dedurrà ${\frac {dy}{dx}}=y'={\text{tg}}\,\varphi$..

Quindi $dy={\text{tg}}\,\varphi \,dx=\lambda \,{\text{tg}}\,\varphi \,{\text{cos}}\,\varphi \,d\,\varphi =\lambda \,{\text{sen}}\,\varphi \,d\,\varphi$ ed $y=-\lambda \,{\text{cos}}\,\varphi +\nu (\nu =\,{\text{cost.}})$. Eliminando $\varphi$ dalle due equazioni trovate, si trova $(x+\lambda \mu )^{2}+(y-\nu )^{2}={\text{cost.}}$. La curva cercata è dunque un cerchio.