Lezioni di analisi matematica/Capitolo 21/Paragrafo 133

Capitolo 21 - Le serie di Fourier

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Capitolo 21 Capitolo 21 - Paragrafo 134

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§ 133. — Le serie di Fourier,

Sia una funzione che ammette il periodo , che cioè assume valori uguali in punti che differiscono per un multiplo di . Supponiamo che sia sviluppabile in una serie (di Fuorier):

(1)

dove assume i valori , e le sono cosanti da determinarsi. Osserviamo che il termine corrispondente ad si riduce ad ; cosicchè la (1) si può scrivere:

(1)bis

Ricordando che, se è intero, è nullo, se , ed è uguale a se , e osservando che:

,

troviamo, se sono interi positivi o nulli:

In modo simile si prova:

[p. 445 modifica]Integrando la (1)bis da a , dopo averla moltiplicata per o per o per , supposto che le serie così ottenute sieno integrabili termine a termine, si avrà, ricordando le precedenti identità:

1

e per .

2

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \left.+b_n\int_0^{2\\pi}\, \text{sen}\, nx\, \text{sen}\, mx\, dx\right\}=\pi\, b_m\, \, \, } 3

Se ne deduce dunque nelle nostre ipotesi:

                     (2)

Noi ci chiediamo:

Quando avviene che sia vera la (1)bis, ove alla si diano i valori definiti dalla (2)?

Si può dimostrare (Dirichlet, Dini, Lebesgue) che ciò avviene in casi molto generali. Noi lo dimostreremo nel caso particolarissimo che le esistano e siano continue e quindi limitate [p. 446 modifica](e necessariamente ammettano anch'essere il periodo ). Dimostriamo intanto che in tali ipotesi la (1)bis è totalmente convergente.

Sia una costante maggiore dei valori assoluti delle . Integrando per parti, si ha per :

,

donde:

ossia:                                        ().

Similmente ; e quindi per

.

La serie a termini positivi e costanti converge, perchè la somma dei primi suoi termini vale , che tende ad per ; quindi sia la , che òa (1)bis sono totalmente convergenti.

Sia uguale al secondo membro di (1)bis. Gli integrali di si ottengono dalla (1)bis moltiplicandola rispettivamente per , e integrando poi termine a termine, perchè la (1)bis è convergente totalmente. Tali integrali sono perciò uguali a quelli di

.

Cosicchè, posto , sarà:

; ; .

[p. 447 modifica]il nostro teorema sarà dimostrato, sa riusciamo a dedurne che la Dalle (3) si sa che, qualunque siano le costanti , è:

(4)

e quindi, per il risultato dell'es. 15°, pag. 58, è:

(5)

se è un qualsiasi polinomio nelle a coefficienti costanti. Supponiamo ora che la funzione (continua) sia differente da zero in un punto ; essa sarà pure differente da zero in tutto un intorno di , p. es. nell'intervallo (), dove sarà, p. es., positiva, ossia avrà un minimo positivo. Vogliamo dimostrare che ciò è assurdo. Poniamo:

(6)

dove è un qualsiasi intero positivo. La espressione tra supererà sempre e sarà maggiore di soltanto quando l'angolo varia nell'intervallo ).

Indicheremo con il massimo finito della . L'intervallo ) si può decomporre nei seguenti intervalli parziali:

1° L'intervallo .

2° Un intorno di di lunghezza non superiore ad 4.

3° Un intorno di di lunghezza non superiore ad 5.

4° La parte residua di di lunghezza

Nell'intervallo è ; quindi l'integrale di esteso a tele intervallo supera . [p. 448 modifica]Nei due intorni ricordati di e è , . Quindi l'integrale di esteso a questi due intorni non supera .

Consideriamo ora la parte residua . In \gamma</math> è sempre . Invece è sempre minore di in valore assoluto: cioè il suo massimo valore assoluto è un numero . Quindi la definita dalla (6) è minore di . E l'integrale di esteso a non supererà , e quindi, poichè , diventa piccolo a piacere, p. es. minore di , quando è abbastanza grande.

L0integrale di , esteso a tutto l'intervallo è uguale alla somma degli integrali di estesi ai citati intervalli parziali; ed uguale perciò alla somma:

1° di un numero positivo maggiore di ;

2° di un numero che in valore assoluto non supera ;

3° di un numero che in valore assoluto non supera .

Esso è dunque maggiore di moltiplicato per ; ciò che è assurdo, perchè noi sappiamo che esso è nullo. È dunque assurdo ammettere che non sia identicamente nullo.

Più generalmente si dimostra che: la (1)bis, i cui coefficienti siano determinati da (2) in un punto ove sia discontinua, ha per somma se questi due limiti esistono e sono finiti [purchè esistano e siano finiti anche i e ], Anche questo risultato vale del resto in casi estremamente più generali.

Note

  1. Si riconosce anche direttamente che tutti i membri del secondo membro sono nulli. Il primo eccettuato.
  2. In virtù delle identità scritte più sopra, nel secondo membro il coefficiente di è nullo, qualunque sia ; il coefficiente di è differente da zero (ed uguale a ) solo se .
  3. Si dimostra con metodo analogo a quello seguito per la formola precedente.
  4. Si suppongono questi intorni essere uno destro, l'altro sinistro, così, da essere entrambi esterni all'intervallo ().
  5. Si suppongono questi intorni essere uno destro, l'altro sinistro, così, da essere entrambi esterni all'intervallo ().