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capitolo xxi — § 134

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fisica, come misurante un fenomeno periodico elementare. La $y$ testè definita si riproduce, se l'angolo $nx$ aumenta di $2\pi$ ossia se $x$ aumenta di ${\frac {2\pi }{n}}$. In altre parole, in un intervallo di ampiezza $2\pi$, tale $y$ si riproduce $n$ volte, misura cioè un fenomeno oscillatorio, che in un intervallo di ampiezza $2\pi$ compie $n$ oscillazioni. Il nostro risultato si può dunque enunciare cosi:

Ogni fenomeno periodico, che si riproduce dopo $\mathrm {2\pi }$ unità di tempo si può decomporre nella somma (serie) di infinitifenomeni periodici elementari, che nello stesso intervallo di tempo compiono rispettivamente $1,2,3,4,.....$ oscillazioni. Per questa ragione si decompongono, p. es., i suoni emessi da uno strumento musicale nella cosidetta nota fondamentale e nei suoni armonici.

Oss. $1^{a}$. Ponendo $z={\frac {T}{2\pi }}x$, e indicando con $z$ il tempo, si passa allo studio di fenomeni periodici, che ammettono un qualsiasi periodo $T$ (anche distinto da $2\pi$). Lo stesso scopo di potrebbe ottenere variando l'unità di misura per il tempo.

$2^{a}$ Trovare la minima distanza $AB$ dal punto $A=(a,\alpha )$ a punto $(b,\beta )$.

Ris. Si deve cercare il minimo di $\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx$, ossia porre nella 82) del § 134 $f={\sqrt {1+{y'}^{2}}}$. La (2) diventa così: ${\frac {d}{dx}}{\frac {y'}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}}=0$, ossia ${\frac {y'}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}}=\,{\text{cost.}}$, o anche $y'=m$, dove $m$ è una costante arbitraria. Quindi $y=mx+n$, dove $n$ è un'altra costante arbitraria; la curva cercata è una retta. Le costanti math>m, n</math> si determinano scrivendo che essa passa per $A$ e per $B$.

$3^{a}$ Dati in un piano verticale $\pi$ due punti $A,B$, trovare la curva passante per $A$ e per $B$ tale che un grave, cadendo da $A$ a $B$ lungo questa curva, impieghi il minimo tempo possibile.

Assumiamo in $\pi$ il punto $A$ come origine, un asse delle $x$ orizzontale, un asse delle $y$ verticale volto verso il basso.

Supponiamo che la curva cercata abbia un'equazione $y=y(x)$. Noi sappiamo che la forza viva ${\frac {1}{2}}\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}$ del grave di massa $1$ con $s$ indico l'arco percorso dal grave), è uguale al lavoro