Lezioni di analisi matematica/Capitolo 20/Paragrafo 132

by Guido Fubini

Capitolo 20 - Trasformazione degli integrali doppi

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 20 - Trasformazione degli integrali doppi

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§ 132. Trasformazione deli integrali doppii.

(Cfr. §§ 108-108_bis)

$\alpha$) Sia $\sigma$ un campo del piano $xy$, ne sia il contorno ¹; e sia $f(x,y)$ una funzione continua in $\sigma$. Siano $X,Y$ due funzioni derivabili delle $x,y$ in $\sigma$

$X=X(x,y)\,\,\,\,\,$$Y=Y(x,y)\,\,\,\,\,$(1)

in guisa che per ogni punto $A$ di $\sigma$ siano completamente determinati i valori delle $X,Y$. Viceversa, dai questi valori, sia completamente determinato il punto $A$; in altre parole si possano risolvere le (1) rispetto alle $x,y$:

$x=x(X,Y)\,\,\,\,\,$$y=y(X,Y)\,\,\,\,\,$(2)

Le (2) posseggano derivate prime e seconde finite e continue.

Assumiamo $X,Y$ come coordinate cartesiane ortogonali in un altro piano. Ogni punto $A$ di $\sigma$ determina i corrispondenti valori delle $X,Y$, e quindi anche il punto $A_{1}$ del piano $XY$, che ha questi valori come coordinate; al variare di math>A</math> in $\sigma$, varierà anche il punto $A_{1}$ riempiendo un'area $Sigma$. Ogni punto $A_{1}$ di $\Sigma$ determinerà a sua volta, per le (2), uno e un solo punto corrispondente di $\sigma$. In questa corrispondenza biunivoca tra i punti di $\sigma$ e di $\Sigma$ ai punti del contorno $s$ di $\sigma$ corriponderanno i punti del contorno $S$ di $\Sigma$.

$\beta$) Quando avviene che in tale corrispondenza si conservi il verso (non la grandezza) degli angoli? Sia $y=\varphi (x)$ una curva $\gamma$ in $\sigma$ e sia ${\frac {dy}{dx}}$ la tangente dell'amngolo $\omega$, che la retta tangente a $\gamma$ in un punto $A$ forma con l'asse delle $x$. Sia $\Gamma$ la curva luogo dei punti di $\Sigma$, che corrispondono ai punti di $\gamma$: e sia $A_{1}$ il punto corrispondente di $A$. La ${\frac {dY}{dX}}$ sarà la tangente dell'angolo $\Omega$, che la retta tangente a $\Gamma$ in $A_{1}$ fa con l'asse delle $X$. Il verso degli angoli sarà conservato, allora e allora soltanto che ${\text{tg}}\Omega$ cresce al crescere di ${\text{tg}}\omega$. Ma ora:

${\text{tg}}\Omega ={\frac {dY}{dX}}={\frac {{\frac {\partial Y}{\partial x}}dx+{\frac {\partial Y}{\partial y}}dy}{{\frac {\partial X}{\partial x}}dx+{\frac {\partial X}{\partial y}}dy}}={\frac {{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}}{{\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}}}={\frac {{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}{\text{tg}}\omega }{{\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}{\text{tg}}\omega }}$.

Affinchè ${\text{tg}}\Omega$ cresca con ${\text{tg}}\omega$, bisogna dunque che ${\frac {m+nt}{p+qt}}$, ove $m={\frac {\partial Y}{\partial x}}$, $n={\frac {\partial Y}{\partial y}}$, $p={\frac {\partial X}{\partial x}}$, $q={\frac {\partial X}{\partial y}}$ si considerino come costanti, sia una funzione crescente della $t$, ossia che la sua derivata ${\frac {-mq+np}{(p+qt)^{2}}}$ sia positiva, ossia che $-mq+np>0$. Se fosse invece $-mq+np<0$, il verso positivo degli angoli non sarebbe conservato.

Noi chiameremo Jacobiano delle $x,y$ rispetto alle $X,Y$, e indicheremo con ${\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}$ il binomio $-mq+np$, ossia il determinante

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial X}{\partial x}}&{\frac {\partial X}{\partial y}}\\{\frac {\partial Y}{\partial x}}&{\frac {\partial Y}{\partial y}}\end{vmatrix}}$,

che noi supporremo avere costantemente uno stesso segno.

Secondo che questo jacobiano è positivo o negativo, il verso o senso degli angoli è, o non è, conservato, e quindi, mentre si percorre $\mathrm {s}$ in verso positivo (lasciando $\mathrm {\sigma }$ a sinistra), il punto corrispondente percorre $\mathrm {S}$ in verso positivo o negativo.

$\gamma$) Sia ora $F(x,y)$ una funzione tale che ${\frac {\partial F}{\partial x}}=f$. Sarà:

(3)     $\int _{\sigma }fd\sigma =\int _{C}{\frac {\partial F}{\partial x}}d\sigma =\int F\,dy$ per il teorema del § 128.

Se indichiamo con $F$ anche la funzione delle $X,Y$, che si ottiene sostituendo in $F(x,y)$ alle $x,y$ i valori (2), sarà:

$\int _{s}F\,dy=\int _{S_{1}}F\left[{\frac {\partial y}{\partial X}}dX+{\frac {\partial y}{\partial Y}}dY\right]$,

dove con $S_{1}$ indico il contorno di $S$ di $\Sigma$ percorso nel verso in cui si muove un punto $A_{1}$, il cui punto corrispondente $A$ di $\sigma$ percorre $s$ nel verso positivo. Se dunque poniamo $\epsilon =\pm 1$ secondo che il precedente Jacobiano è positivo, o negativo, sarà, ricordando i teoremi del § 128, e supponendo $S$ percorso in modo da lasciare $\Sigma$ a sinistra:

$\int _{s}Fdy=\epsilon \int _{S}\left\{F{\frac {\partial y}{\partial X}}dX+F{\frac {\partial y}{\partial Y}}dY\right\}=$

$=\epsilon \int _{\Sigma }\left\{{\frac {\partial }{\partial X}}\left(F{\frac {\partial y}{\partial Y}}\right)-{\frac {\partial }{\partial Y}}\left(F{\frac {\partial y}{\partial X}}\right)\right\}dX\,dY=$

$=\epsilon \int _{\Sigma }\left({\frac {\partial F}{\partial X}}{\frac {\partial y}{\partial Y}}-{\frac {\partial F}{\partial Y}}{\frac {\partial y}{\partial X}}\right)dXdY=$

$\int _{\Sigma }\epsilon \left\{{\frac {\partial y}{\partial Y}}\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial X}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial X}}\right]-{\frac {\partial y}{\partial X}}\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial Y}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial Y}}\right]\right\}dXdY$,

dove, nell'ultimo membro, ho di nuovo considerato $F$ funzione delle $x,y$. Riducendo, e ricordando che ${\frac {\partial F}{\partial x}}=f$, se ne deduce infine:

(4)$\,\,\,\int _{s}Fdy=\int _{\Sigma }\epsilon \,f{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}dX\,dY=\int _{\Sigma }\left|{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}\right|dXdY$.

Le (3), (4) dànno:

$f(x,y)dx\,dy=\int _{\Sigma }f[x(X,Y),y(X,Y)]\left|{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}\right|dX\,dY,\,\,\,\,\,$(5)

che costituisce la formola fondamentale per il cambiamento di variabili negli integrali doppi. La si confronti con la formola

$\int _{d}f(x)dx=\int _{D}f[x(X)]{\frac {dx}{dX}}dX$

dell'integrazione per sostituzione per gli integrali di una sola variabile, dove con $x,X$ si indichino due variabili, di cui una funzione dell'altra, e con $d,D$segmenti corrispondenti sulle rette delle due variabili. L'analogia risulta evidente; alla ${\frac {dx}{dX}}$ di quest'ultima formola corrisponde nella formola sopra scritta lo Jacobiano ${\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}$; il quale viene preso in valore assoluto, perchè le aree $\Sigma ,\sigma$ si considerano sempre positive, mentre il segmento $D$ può essere anche il segno opposto a $\delta$. Se ponessimo $X=|rho,Y=\theta ,x=\rho \,{\text{cos}}\,\theta ,y=\rho \,{\text{sen}}\,\theta$, il nostro Jacobiano si riduce a $\rho$ e si ritorna così alla formola del § 108. (Cfr. l'oss. a pag. 353).

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Note

1. Si suppone che $\tau ,s$ soddisfino alle solite condizioni enunciate nei §§ precedenti.