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integrali curvilinei e superficiali

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che il precedente Jacobiano è positivo, o negativo, sarà, ricordando i teoremi del § 128, e supponendo $S$ percorso in modo da lasciare $\Sigma$ a sinistra:

$\int _{s}Fdy=\epsilon \int _{S}\left\{F{\frac {\partial y}{\partial X}}dX+F{\frac {\partial y}{\partial Y}}dY\right\}=$

$=\epsilon \int _{\Sigma }\left\{{\frac {\partial }{\partial X}}\left(F{\frac {\partial y}{\partial Y}}\right)-{\frac {\partial }{\partial Y}}\left(F{\frac {\partial y}{\partial X}}\right)\right\}dX\,dY=$

$=\epsilon \int _{\Sigma }\left({\frac {\partial F}{\partial X}}{\frac {\partial y}{\partial Y}}-{\frac {\partial F}{\partial Y}}{\frac {\partial y}{\partial X}}\right)dXdY=$

$\int _{\Sigma }\epsilon \left\{{\frac {\partial y}{\partial Y}}\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial X}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial X}}\right]-{\frac {\partial y}{\partial X}}\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial Y}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial Y}}\right]\right\}dXdY$,

dove, nell'ultimo membro, ho di nuovo considerato $F$ funzione delle $x,y$. Riducendo, e ricordando che ${\frac {\partial F}{\partial x}}=f$, se ne deduce infine:

(4)$\,\,\,\int _{s}Fdy=\int _{\Sigma }\epsilon \,f{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}dX\,dY=\int _{\Sigma }\left|{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}\right|dXdY$.

Le (3), (4) dànno:

$f(x,y)dx\,dy=\int _{\Sigma }f[x(X,Y),y(X,Y)]\left|{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}\right|dX\,dY,\,\,\,\,\,$(5)

che costituisce la formola fondamentale per il cambiamento di variabili negli integrali doppi. La si confronti con la formola

$\int _{d}f(x)dx=\int _{D}f[x(X)]{\frac {dx}{dX}}dX$

dell'integrazione per sostituzione per gli integrali di una sola variabile, dove con $x,X$ si indichino due variabili, di cui una funzione dell'altra, e con $d,D$segmenti corrispondenti sulle rette delle due variabili. L'analogia risulta evidente; alla ${\frac {dx}{dX}}$ di quest'ultima formola corrisponde nella formola sopra scritta lo Jacobiano ${\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}$; il quale viene preso in valore assoluto, perchè le aree $\Sigma ,\sigma$ si considerano sempre positive, mentre il segmento $D$ può essere anche il segno opposto a $\delta$. Se ponessimo $X=|rho,Y=\theta ,x=\rho \,{\text{cos}}\,\theta ,y=\rho \,{\text{sen}}\,\theta$, il nostro Jacobiano si riduce a $\rho$ e si ritorna così alla formola del § 108. (Cfr. l'oss. a pag. 353).

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