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capitolo xx — § 132

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Ma ora:

${\text{tg}}\Omega ={\frac {dY}{dX}}={\frac {{\frac {\partial Y}{\partial x}}dx+{\frac {\partial Y}{\partial y}}dy}{{\frac {\partial X}{\partial x}}dx+{\frac {\partial X}{\partial y}}dy}}={\frac {{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}}{{\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}}}={\frac {{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}{\text{tg}}\omega }{{\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}{\text{tg}}\omega }}$.

Affinchè ${\text{tg}}\Omega$ cresca con ${\text{tg}}\omega$, bisogna dunque che ${\frac {m+nt}{p+qt}}$, ove $m={\frac {\partial Y}{\partial x}}$, $n={\frac {\partial Y}{\partial y}}$, $p={\frac {\partial X}{\partial x}}$, $q={\frac {\partial X}{\partial y}}$ si considerino come costanti, sia una funzione crescente della $t$, ossia che la sua derivata ${\frac {-mq+np}{(p+qt)^{2}}}$ sia positiva, ossia che $-mq+np>0$. Se fosse invece $-mq+np<0$, il verso positivo degli angoli non sarebbe conservato.

Noi chiameremo Jacobiano delle $x,y$ rispetto alle $X,Y$, e indicheremo con ${\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}$ il binomio $-mq+np$, ossia il determinante

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial X}{\partial x}}&{\frac {\partial X}{\partial y}}\\{\frac {\partial Y}{\partial x}}&{\frac {\partial Y}{\partial y}}\end{vmatrix}}$,

che noi supporremo avere costantemente uno stesso segno.

Secondo che questo jacobiano è positivo o negativo, il verso o senso degli angoli è, o non è, conservato, e quindi, mentre si percorre $\mathrm {s}$ in verso positivo (lasciando $\mathrm {\sigma }$ a sinistra), il punto corrispondente percorre $\mathrm {S}$ in verso positivo o negativo.

$\gamma$) Sia ora $F(x,y)$ una funzione tale che ${\frac {\partial F}{\partial x}}=f$. Sarà:

(3)     $\int _{\sigma }fd\sigma =\int _{C}{\frac {\partial F}{\partial x}}d\sigma =\int F\,dy$ per il teorema del § 128.

Se indichiamo con $F$ anche la funzione delle $X,Y$, che si ottiene sostituendo in $F(x,y)$ alle $x,y$ i valori (2), sarà:

$\int _{s}F\,dy=\int _{S_{1}}F\left[{\frac {\partial y}{\partial X}}dX+{\frac {\partial y}{\partial Y}}dY\right]$,

dove con $S_{1}$ indico il contorno di $S$ di $\Sigma$ percorso nel verso in cui si muove un punto $A_{1}$, il cui punto corrispondente $A$ di $\sigma$ percorre $s$ nel verso positivo. Se dunque poniamo $\epsilon =\pm 1$ secondo