Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 120

by Guido Fubini

Capitolo 19 - Lunghezza di un arco di curva sghemba

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 19 - Lunghezza di un arco di curva sghemba

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§ 120. — Lunghezza di un arco di curva sgemba.

$\alpha$) Abbiamo già visto in parecchi esempi in cui si doveva cercare una funzione additiva d'intervallo, come se fosse assai spesso facilissimo definirne la derivata. Così, per es., mentre la ricerca dell'area racchiusa tra l'asse delle $x$, la curva $y=F(x)$, e due ordinate richiede una integrazione, la derivata di quest'area è semplicemente l'ordinata stessa $F(x)$.

Così avviene nel problema di misurare la lunghezza di un arco di curva $C$. Ma qui si presenta un'altra difficoltò. Che cosa vuol dire la frase: lunghezza di un arco di curva $C$? Noi tutti ne abbiamo un'idea intuitiva, ma il primo problema è appunto quello di tradurre nel modo più semplice questa idea intuitiva in una, diremo così, idea matematica; così da poter dare un mezzo per calcolare tale lunghezza¹.

Cominciamo a limitare l'insieme delle curve $C$, di cui ci vogliamo occupare. Noi supporremo di limitarci a curve $C$ dotate in ogni punto di tangente variabile con continuità, le quali siano in corrispondenza biunivoca con la loro proiezione su una retta $r$ (in guisa cioè che punti distinti di $C$ abbiano proiezioni distinte). Sia $I$ la proiezione di $C$ su $r$. Ogni segmento $(a,b)$ interno ad $I$ determina quel pezzo di $C$, che si proietta in $(a,b)$.

Supponiamo di sapere che cosa sia la lunghezza di $C$ ed anche òa lunghezza di ogni sua parte. Allora ogni intervallo $(a,b)$ di $r$ individua un pezzo della curva $C$, e la lunghezza di questo. tale lunghezza $\mathrm {S(a,b)}$ sarà una funzione continua di $\mathrm {(a,b)}$ che evidentemente è additiva²; perchè se $(a,b)(b,c)$ sono due intervalli distinti, evidentemente la lunghezza di quel pezzo di $C$ che si proietta in $(b.c)$ hanno per somma la lunghezza di quel pezzo di $C$ che si proietta in $(a,b)+(b,c)=(a,c)$.

I nostri procedimenti basteranno a calcolarla, se di tale funzione additiva sappiamo dare la derivata. Tale derivata è per definizione il limite

                                                  $\lim _{b=a}{\frac {S(a,b)}{b-a}}$                                                  (1)

del rapporto ottenuto dividendo la lunghezza del pezzo di curva che si proietta nell'intervallo $(a,b)$ per l'ampiezza $b-a$ di tale intervallo.

La più semplice ipotesi che noi possiamo fare, ispirandoci all'idea intuitiva, che un tale pezzetto di curva, quando la sua proiezione $b-a$ è molto piccola, si confonde quasi con un pezzetto della retta tangente alla curva, è la seguente:

Tale derivata è identica a quella che si otterrebbe sostituendo alla curva la tangente $\tau$ in quel suo punto che si proietta nel punto $\mathrm {x=a}$.

Questo secondo postulato si appare come il più semplice anche per la seguente considerazione. Nel cerchio il rapporto di una corda all'arco corrispondente tende ad uno, quando l'arco tende a zero. Appare spontaneo di ammettere questa proprietò per curve qualsiasi. Il precedente postulato ne è conseguenza immediata. Infatti, ammettere tale proprietà equivale ad ammettere che, se noi indichiamo con $c(a,b)$ la lunghezza della corda congiungente quei punti $C$ che si proiettano nei punti $x=a,x=b$, sia

$\lim _{b=a}{\frac {c(a,b)}{A(a,b)}}=1$.

Cosicchè il limite (1) si può scrivere anche

                                        $\lim _{b=a}{\frac {S(a,b)}{b-a}}\,\lim _{b=a}{\frac {c(a,b)}{S(a,b)}}=\lim _{b=a}{\frac {c(a,b)}{b-a}}$                    (2)

Ora, poichè la retta cui appartiene la corda $(a,b)$ tende, per $b=a$, alla retta tangente $\tau$, il limite 82) coincide col limite (1) calcolato nel modo dato dal precedente postulato. Si è così in più dimostrato che i postulati enunciati sono concordi con le definizioni elementari relative alla lunghezza degli archi di cerchio.

La definizione, data assai spesso che la lunghezza di una curva $C$ è il limite superiore dei perimetri delle poligonali inscritte è più in generale della precedente, ma non contrasta mai con essa. Non la adottiamo per le complicazioni che porterebbe una definizione analoga di area di una superficie sghemba.

È bene evidente che i postulati da noi posti hanno un significato indipendente dalla scelta della particolare retta $r$ su cui si proietta. Se la retta su cui si proietta, è l'asse delle $x$, la derivata citata sarà ${\frac {1}{{\text{cos}}\,(\tau x)}}$, dove $\tau x$ è l'angolo che la tangente $\tau$ forma con l'asse delle $x$.

L'arco della curva compreso tra i punti di ascissa $a$ e $b$ sarà dunque nelle nostre ipotesi

$\int _{a}^{b}{\frac {1}{{\text{cos}}(\tau x)}}dx$

Le nostre ipotesi equivalgono a dire che:

1° Le equazioni di $C$ si possano porre sotto la forma:

                                        $y=f(x)$   ,   $z=\varphi (x)$,

perchè in tal caso il valore di $x$ (cioè la proiezione sull'asse delle $x$) individua il punto della curva.

2° La ${\frac {1}{{\text{cos}}\tau x}}={\sqrt {1+{f'}^{2}(x)+{\varphi '}^{2}(x)}}dx$ (§ 118) esiste ed è una funzione continua di $x$ (le $f,\varphi$ hanno derivate conntinue).

In tal caso il nostro arco è dato da:

$\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{f'}^{2}(x)+{\varphi '}^{2}(x)}}dx$.

Posto $f'(x)={\frac {dy}{dx}}$, $\varphi '(x)={\frac {dz}{dx}}$, si ha che il nostro arco vale

$\int {\sqrt {1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}}}dx$

formola che, come è noto dalle regole di integrazione per sostituzione, è indipendente dalla variabile scelta come variabile di integrazione, e che si suole scrivere perciò

$\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$.

Ciò significa che, se $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$ sono le equazioni parametriche della curva, quel suo arco corrispondente a valori di $t$ dell'intervallo $(\alpha ,\beta )$ vale:

$\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}}dt$.

Questa formola vale anche per curve, che siano in corrispondenza biunivoca con la proiezione sull'asse delle $y$, o sull'asse delle $z$; e si estende tosto a curve, che si possono scomporre in un numero finito di pezzi, ognuno dei quali sia in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione su uno dei tre assi.

Se noi indichiamo con $s$ l'arco contato da un'origine qualsiasi al punto $t$, è dunque $s'_{t}={\sqrt {{x'}_{t}^{2}+{y'}_{t}^{2}+{z'}_{t}^{2}}}$; cosicchè i coseni direttori della tangente alla curva sono (pag. 397):

${\frac {x'_{t}}{s'_{t}}}={\frac {dx}{ds}}$ , ${\frac {y'_{t}}{s'_{t}}}={\frac {dy}{ds}}$ , ${\frac {z'_{t}}{s'_{t}}}={\frac {dz}{ds}}$.

Affinchè il parametro $t$ coincida con l'arco $s$ misurato nell'uno o nell'altro verso a partire da uno o da un altro punto è dunque necessario e sufficiente che ${x'}_{t}^{2}+{y'}_{t}^{2}+{z'}_{t}^{2}=1$.

La nostra formola si può rendere intuitiva anche per altra via: la nostra definizione sarà così significativa anche con nuovo metodo. Un pezzetto piccolissimo della nostra curva ha per lunghezza l'incremento $d\,s$ che $s$ subisce passa ndo da un estermo all'altro; se noi lo consideriamo come rettilineo, avremo che $ds^{2}$ è uguale alla somma dei quadrati delle sue proiezioni $dx,dy,dz$ sui tre assi coordinati. È perciò $ds^{2}=sx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$.

Esempio.

Si trovi il perimetro dell'ellisse ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$. Le $x=a\,{\text{cos}}\,t,y=b\,{\text{sen}}\,t$ per $0\leq t\leq 2\,\pi$ sono le equazioni parametriche di tale ellisse. Il suo perimetro sarà:

$4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {a^{2}\,{\text{sen}}^{2}\,t+b^{2}\,{\text{cos}}^{2}\,t}}dt=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\,{\text{cos}}^{2}\,t}}\,dt$.

Posto ${\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}=e^{2}$ (dove $e<1$) tale integrale si calcola integrando per serie come l'integrale dell'esempio al § 79, pag. 266. $\beta$) Lunghezza di una curva piana in coordinate polari.

Posto $x=r\,{\text{cos}}\,\theta ,y=r\,{\text{sen}}\,\theta$, dalla $dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\,theta^{2}$ si deduce che la lunghezza di una curva definita dalle:

                              $r=r(t)$          $\theta =\theta (t)$

$a\leq \,t\leq \,b$

vale

$\int _{a}^{b}{\sqrt {{r'}^{2}+r^{2}{\theta '}^{2}\,dt}}$.

Consideriamo, p. es., la curva

                                        $r=h+k\theta$           ($h,k=$ cost.)</math>,

che si riduce a un cerchio per $k=0$ e a una spirale di Archimede per $h=0$. Quel suo arco per cui $a\leq \,\theta \leq \,b$ ha per lunghezza

$\int _{a}^{b}{\sqrt {k^{2}+(h+k\theta )^{2}}}\,d\,\theta$

come si riconosce ponendo $\theta =t$. Posto $k=0,a=0,b=\,\pi$ se ne deduce che $2\,\pi \,h$ è la periferia del cerchio di raggio $h$. Il lettore studii il caso$k\not =0$.

Note

1. Questo problema è di atura affatto analoga a quello che si presenta per definire tutte le figure e grandezze geometriche. se si presume di conoscere già l'ente che si vuol studiare, si ammettono circa tale ente dei postulati. Se i suppone di non conoscerlo, si assumono questi postulati come definizione matematica dell'ente stesso.
2. Naturalmente questa affermazione è un primo postulato.