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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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$\beta$) Lunghezza di una curva piana in coordinate polari.

Posto $x=r\,{\text{cos}}\,\theta ,y=r\,{\text{sen}}\,\theta$, dalla $dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\,theta^{2}$ si deduce che la lunghezza di una curva definita dalle:

                              $r=r(t)$          $\theta =\theta (t)$

$a\leq \,t\leq \,b$

vale

$\int _{a}^{b}{\sqrt {{r'}^{2}+r^{2}{\theta '}^{2}\,dt}}$.

Consideriamo, p. es., la curva

                                        $r=h+k\theta$           ($h,k=$ cost.)</math>,

che si riduce a un cerchio per $k=0$ e a una spirale di Archimede per $h=0$. Quel suo arco per cui $a\leq \,\theta \leq \,b$ ha per lunghezza

$\int _{a}^{b}{\sqrt {k^{2}+(h+k\theta )^{2}}}\,d\,\theta$

come si riconosce ponendo $\theta =t$. Posto $k=0,a=0,b=\,\pi$ se ne deduce che $2\,\pi \,h$ è la periferia del cerchio di raggio $h$. Il lettore studii il caso$k\not =0$.

§ 121. — Area di una superficie sghemba ed integrali estesi ad una superficie sghema.

$\alpha$) Affatto analogo è lo studio dell'area di una superficie $R$ sghemba. Se tale superficie $R$ è in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione $I$ sul piano $xy$, ed è quindi rappresentabile con un'equazione $z=f(x,y)$, l'area $\mathrm {s}$ di quel suo pezzo $\mathrm {s}$, che si proietta in un pezzo $\sigma$ di $\mathrm {I}$ si definirà nel modo più semplice come quella funzione additiva di $\sigma$, la cui derivata in un punto $\mathrm {A}$ di $\mathrm {I}$ è identica a quella che si otterrebbe sostituendo ala $\mathrm {R}$ il suo piano tangente nel punto che si proietta in $\mathrm {A}$. Tale derivata (che supporremo finita e continua) vale dunque ${\frac {1}{{\text{cos}}\,\alpha }}$, se $\alpha$ è l'angolo del primo quadrante che tale piano tangente forma col piano $xy$, cioè l'angolo $nz$ del primo quadrante che la normale ad $R$ nel punto considerato forma con