Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 119

by Guido Fubini

Capitolo 19 - Piano tangente ad una superficie

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 19 - Piano tangente ad una superficie

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§ 119. — Piano tangente ad una superficie.

Sia $S$ una fuperficie $f(x,y,z)=0$; e siano $f'_{x},f'_{y},f'_{z}$ continue nell'intorno di un punto $A=(x_{0},y_{0},z_{0})$ di $S$. Siano

                                        $x=x(t)$, $y=y(t)$; $z=z(t)$                    (1)

(dove i secondi membri sono funzioni derivabili di una parametro $t$9 le equazioni di una curva $C$ posta su $S$ ed uscente da $A$, La teoria delle funzioni implicite prova che di tali curve $C$ ne esistono infinite, se $f'_{x},f'_{y},f'_{z}$ non sono tutte nulle in $A$. Sostituendo nella $f(x,y,z)$ alle $x,y,z$ i valori dati da (1), si otterrà una funzione della $t$ identicamente nulla, perchè tutti i punti di $C$ giacciono sulla $S$. La derivata di questa funzione della $t$ sarà quindi nulla in tutti i punti $C$, e in particolare nel punto $A$. Sarà che:

                    $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0}x'_{0}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}y'_{0}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)_{0}z'_{0}=0$,                (2)

dove l'indice $0$ è posto per indicare che le derivate sono calcolate nel punto $A$. La tangente in $A$ alla $C$ ha per equazione

                              ${\frac {x-x_{0}}{x'_{0}}}={\frac {y-y_{0}}{z'_{0}}}={\frac {z-z_{0}}{z'_{0}}}$.               (3)

Nel primo membro di (2), che è un polinomio omogeneo nelle $x'_{0},y'_{0},z'_{0}$, potrò a queste derivate sostituire le <$x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}$, che per le (3) sono ad esse proporzionali.

Ne deduciamo che i punti $x,y,z$ della tangente in $A$ ad una qualsiasi delle nostre curve $C$ soddisfano alla:

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0}(x-x_{0})+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}(y-y_{0})+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)_{0}(z-z_{0})=0\,\,$ (4)

La (4) non è un'identità, perchè già abbiamo escluso che $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0}=\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=0$: e, poichè è di primo grado nelle $x,y,z$, essa è l'equazione di un piano: il cosidetto piano tangente alla $S$ nel punto $A$. Quindi:

Se $\mathrm {f(x,y,z)=0}$ è l'equazione di una superficie $\mathrm {S}$, e se in un intorno di un punto $\mathrm {A}$ di $\mathrm {S}$ le $\mathrm {f'_{x},f'_{y},f'_{z}}$ sono finite e continue, mentre in $\mathrm {A}$ queste derivate non sono tutte nulle, si possono tirare su $\mathrm {S}$ infinite curve (dotate di tangente) uscenti da $\mathrm {A}$. Le tangenti in $\mathrm {A}$ a tutte queste curve giacciono in uno stesso piano (4): il piano tangente alla $S</manth>nelpunto<math>A$.

Se l'equazione della superficie è data sotto la forma:

$z=\varphi (x,y)$,

ossia, se $f=\varphi (x,y)-z$, l'equazione del piano tangente diventa:

$\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{0}(x-x_{0})+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{0}(y-y_{0})-(z-z_{0})=0$.

Adottando la notazione di Monge:

                                        ${\frac {\partial \varphi }{\varphi x}}=p$,          ${\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=q$,

essa si ridurrà a

$p_{0}(x-x_{0})+q(y-y_{0})-(z-z_{0})=0$,

che è l'equazione cercata.

Volendo trovare i coseni direttori della normale $n$ al piano, basterà ricordare che tali coefficienti sono proporzionali ai coefficienti di $x,y,z$, cioè a $p_{0},q_{0},-1$.

Essi saranno $\lambda p_{0},\lambda q_{0},-\lambda$, dove il fattore $\lambda$ di proporzionalità si determina ricordando che deve essere

$[\lambda p_{0}]^{2}+[\lambda q_{0}]^{2}+\lambda ^{2}=1$.

Otterremo:

$\lambda ={\frac {1}{\pm {\sqrt {p_{0}^{2}+q_{0}^{2}+1}}}}$,

ed infine:

${\text{cos}}\,nx={\frac {p_{0}}{\pm {\sqrt {p_{0}^{2}+q_{0}^{2}+1}}}}$, ${\text{cos}}\,ny={\frac {q_{0}}{\pm {\sqrt {p_{0}^{2}+q_{0}^{2}+1}}}}$,

${\text{cos}}\,nz={\frac {-1}{\pm {\sqrt {p_{0}^{2}+q_{0}^{2}+1}}}}$,

ove il doppio segno dipende dall'arbitrarietà con cui si può fissare il verso positivo della normale considerata.

È evidente l'analogia della (4) con l'equazione (10) trovata al § 84, pag. 285, per la retta tangente alla curva piana $f(x,y)=0$ nel punto $(x_{0},y_{0})$.