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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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Si è così in più dimostrato che i postulati enunciati sono concordi con le definizioni elementari relative alla lunghezza degli archi di cerchio.

La definizione, data assai spesso che la lunghezza di una curva $C$ è il limite superiore dei perimetri delle poligonali inscritte è più in generale della precedente, ma non contrasta mai con essa. Non la adottiamo per le complicazioni che porterebbe una definizione analoga di area di una superficie sghemba.

È bene evidente che i postulati da noi posti hanno un significato indipendente dalla scelta della particolare retta $r$ su cui si proietta. Se la retta su cui si proietta, è l'asse delle $x$, la derivata citata sarà ${\frac {1}{{\text{cos}}\,(\tau x)}}$, dove $\tau x$ è l'angolo che la tangente $\tau$ forma con l'asse delle $x$.

L'arco della curva compreso tra i punti di ascissa $a$ e $b$ sarà dunque nelle nostre ipotesi

$\int _{a}^{b}{\frac {1}{{\text{cos}}(\tau x)}}dx$

Le nostre ipotesi equivalgono a dire che:

1° Le equazioni di $C$ si possano porre sotto la forma:

                                        $y=f(x)$   ,   $z=\varphi (x)$,

perchè in tal caso il valore di $x$ (cioè la proiezione sull'asse delle $x$) individua il punto della curva.

2° La ${\frac {1}{{\text{cos}}\tau x}}={\sqrt {1+{f'}^{2}(x)+{\varphi '}^{2}(x)}}dx$ (§ 118) esiste ed è una funzione continua di $x$ (le $f,\varphi$ hanno derivate conntinue).

In tal caso il nostro arco è dato da:

$\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{f'}^{2}(x)+{\varphi '}^{2}(x)}}dx$.

Posto $f'(x)={\frac {dy}{dx}}$, $\varphi '(x)={\frac {dz}{dx}}$, si ha che il nostro arco vale

$\int {\sqrt {1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}}}dx$

formola che, come è noto dalle regole di integrazione per sostituzione, è indipendente dalla variabile scelta come variabile di integrazione, e che si suole scrivere perciò

$\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$.

26 — G. Fusini, Analisi matematica.