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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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(È necessario supporre che non sia $x'_{0}=y'_{0}=z'_{0}=0$; si esamini il caso che soltanto alcune di queste derivate siano nulle).

I coseni direttori di tale tangente $r$ saranno dunque $\lambda x'_{0},\lambda y'_{0},\lambda z'_{0}$, dove $\lambda$ è un fattore di proporzionalità definito dalla

$(\lambda x'_{0})^{2}+(\lambda y'_{0})^{2}+(\lambda z'_{0}=)^{2}=1$

E perciò:

$\lambda ={\frac {1}{\pm {\sqrt {{x'}_{0}^{2}+{y'}_{0}^{2}+{z'}_{0}^{2}}}}}$,

e quindi:

${\text{cos}}\,(xr)=\pm {\frac {x'_{0}}{\sqrt {{x'}_{0}^{2}+{y'}_{0}^{2}+{z'}_{0}^{2}}}}$; ${\text{cos}}\,(yr)=\pm {\frac {y'_{0}}{\sqrt {{x'}_{0}^{2}+{y'}_{0}^{2}+{z'}_{0}^{2}}}}$;

${\text{cos}}\,(zr)=\pm {\frac {z'_{0}}{\sqrt {{x'}_{0}^{2}+{y'}_{0}^{2}+{z'}_{0}^{2}}}}$;

dove il segno da scegliersi dipenderà dal verso della tangente $r$ scelto come positivo.

§ 119. — Piano tangente ad una superficie.

Sia $S$ una fuperficie $f(x,y,z)=0$; e siano $f'_{x},f'_{y},f'_{z}$ continue nell'intorno di un punto $A=(x_{0},y_{0},z_{0})$ di $S$. Siano

                                        $x=x(t)$, $y=y(t)$; $z=z(t)$                    (1)

(dove i secondi membri sono funzioni derivabili di una parametro $t$9 le equazioni di una curva $C$ posta su $S$ ed uscente da $A$, La teoria delle funzioni implicite prova che di tali curve $C$ ne esistono infinite, se $f'_{x},f'_{y},f'_{z}$ non sono tutte nulle in $A$. Sostituendo nella $f(x,y,z)$ alle $x,y,z$ i valori dati da (1), si otterrà una funzione della $t$ identicamente nulla, perchè tutti i punti di $C$ giacciono sulla $S$. La derivata di questa funzione della $t$ sarà quindi nulla in tutti i punti $C$, e in particolare nel punto $A$. Sarà che:

                    $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0}x'_{0}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}y'_{0}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)_{0}z'_{0}=0$,                (2)

dove l'indice $0$ è posto per indicare che le derivate sono calcolate nel punto $A$. La tangente in $A$ alla $C$ ha per equazione

                              ${\frac {x-x_{0}}{x'_{0}}}={\frac {y-y_{0}}{z'_{0}}}={\frac {z-z_{0}}{z'_{0}}}$.               (3)