Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 118

by Guido Fubini

Capitolo 19 - Tangente ad una curva gobba

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 118 — Tangente ad una curva gobba.

Siano

                    $x=x(t)$; $y=y(t)$; $z=z(t)$               (1)

funzioni derivabili di una parametro $t$. Al variare della $t$ il punto $(x,y,z$) definito da (1) descriva una curva $C$. Se questa consideriamo un punto $A=(x_{0},y_{0},z_{0})$ corrispondente al valore $t_{0}$ della $t$, e un altro punto $B$ corrispondente al valore $t_{0}+h$ della $t$. Poniamo $x'_{0}=x'(t_{0}),y'_{0}=y'(t_{0}),z'_{0}=z'(t_{0})$. Per analogia con le curve piane noi chiameremo retta tangente alla $C$ in $A$ la posizione limite della retta $AB$ (per $h=0$).

Le equazioni della $AB$ sono:

${\frac {x-x_{0}}{x(t_{0}+h)-x_{0}}}={\frac {y-y_{0}}{y(t_{0}+h)-y_{0}}}={\frac {z-z_{0}}{z(t_{0}+h)-z_{0}}}$¹.

E i suoi coseni direttori sono quindi proporzionali alle {{centrato|$x(t_{0}+h)-x_{0},y(t_{0}+h)-y_{0},z(t_{0}+h)-z_{0}$ ossia alle:

${\frac {x(t_{0}+h)-x_{0}}{h}}$, ${\frac {y(t_{0}+h)-y_{0}}{h}}$, ${\frac {z(t_{0}+h)-z(t_{0})}{h}}$.

I limiti $x'_{0},y'_{0},z'_{0}$ di queste frazioni (rapporti incrementali) saranno dunque proporzionali ai coseni direttori della tangente in $A$ della $C$: la quale avrà dunque per equazione

${\frac {x-x_{0}}{x'_{0}}}={\frac {y-y_{0}}{y'_{0}}}={\frac {z-z_{0}}{z'_{0}}}$.

(È necessario supporre che non sia $x'_{0}=y'_{0}=z'_{0}=0$; si esamini il caso che soltanto alcune di queste derivate siano nulle).

I coseni direttori di tale tangente $r$ saranno dunque $\lambda x'_{0},\lambda y'_{0},\lambda z'_{0}$, dove $\lambda$ è un fattore di proporzionalità definito dalla

$(\lambda x'_{0})^{2}+(\lambda y'_{0})^{2}+(\lambda z'_{0}=)^{2}=1$

E perciò:

$\lambda ={\frac {1}{\pm {\sqrt {{x'}_{0}^{2}+{y'}_{0}^{2}+{z'}_{0}^{2}}}}}$,

e quindi:

${\text{cos}}\,(xr)=\pm {\frac {x'_{0}}{\sqrt {{x'}_{0}^{2}+{y'}_{0}^{2}+{z'}_{0}^{2}}}}$; ${\text{cos}}\,(yr)=\pm {\frac {y'_{0}}{\sqrt {{x'}_{0}^{2}+{y'}_{0}^{2}+{z'}_{0}^{2}}}}$;

${\text{cos}}\,(zr)=\pm {\frac {z'_{0}}{\sqrt {{x'}_{0}^{2}+{y'}_{0}^{2}+{z'}_{0}^{2}}}}$;

dove il segno da scegliersi dipenderà dal verso della tangente $r$ scelto come positivo.

Note

1. Si suppongono i dominatori non contemporaneamente nulli. Questa ipotesi è contenuta (per $h$ abbastanza piccolo) nell'altra, che enunciamo più stto, che almeno una delle $x'_{0},y'_{0},z'_{0}$ sia differente da zero.