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capitolo xix — § 118

CAPITOLO XIX.

ALCUNE APPLICAZIONI GEOMETRICHE
DEL CALCOLO INFINITESIMALE

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§ 118 — Tangente ad una curva gobba.

Siano

                    $x=x(t)$; $y=y(t)$; $z=z(t)$               (1)

funzioni derivabili di una parametro $t$. Al variare della $t$ il punto $(x,y,z$) definito da (1) descriva una curva $C$. Se questa consideriamo un punto $A=(x_{0},y_{0},z_{0})$ corrispondente al valore $t_{0}$ della $t$, e un altro punto $B$ corrispondente al valore $t_{0}+h$ della $t$. Poniamo $x'_{0}=x'(t_{0}),y'_{0}=y'(t_{0}),z'_{0}=z'(t_{0})$. Per analogia con le curve piane noi chiameremo retta tangente alla $C$ in $A$ la posizione limite della retta $AB$ (per $h=0$).

Le equazioni della $AB$ sono:

${\frac {x-x_{0}}{x(t_{0}+h)-x_{0}}}={\frac {y-y_{0}}{y(t_{0}+h)-y_{0}}}={\frac {z-z_{0}}{z(t_{0}+h)-z_{0}}}$¹.

E i suoi coseni direttori sono quindi proporzionali alle {{centrato|$x(t_{0}+h)-x_{0},y(t_{0}+h)-y_{0},z(t_{0}+h)-z_{0}$ ossia alle:

${\frac {x(t_{0}+h)-x_{0}}{h}}$, ${\frac {y(t_{0}+h)-y_{0}}{h}}$, ${\frac {z(t_{0}+h)-z(t_{0})}{h}}$.

I limiti $x'_{0},y'_{0},z'_{0}$ di queste frazioni (rapporti incrementali) saranno dunque proporzionali ai coseni direttori della tangente in $A$ della $C$: la quale avrà dunque per equazione

${\frac {x-x_{0}}{x'_{0}}}={\frac {y-y_{0}}{y'_{0}}}={\frac {z-z_{0}}{z'_{0}}}$.

1. Si suppongono i dominatori non contemporaneamente nulli. Questa ipotesi è contenuta (per $h$ abbastanza piccolo) nell'altra, che enunciamo più stto, che almeno una delle $x'_{0},y'_{0},z'_{0}$ sia differente da zero.