Lezioni di analisi matematica/Capitolo 16/Paragrafo 104

by Guido Fubini

Capitolo 16 - Interpretazione geometrica

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 16 - Interpretazione geometrica

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§ 104. — Interpretazione geometrica.

Supposto $F\geq 0$, consideriamo il cilindroide limitato da quel pezzo della superficie $z=F(x,y)$, di cui $\sigma$ è la proiezione sul piano $xy$, dal cilindro che ne proietta il contorno e da $\sigma$ (base cilindroide9. Le formole precedenti hanno una notevole interpretazione geometrica. Consideriamo, p. es., la (1). Io dico che $\int F(x,y)dx$ misura l'area della sezione fatta nel nostro cilindroide con un piano $y={\text{cost.}}$. Fig. 40. Infatti, se la retta $y={\text{cost.}}$ del piano $xy$ interseca il contorno di $\sigma$ in due soli punti $A,B$, questa sezione è evidentemente un rettangoloide limitato (fig. 40):

1° Dalla retta $r=AB$ parallela all'asse delle $x$ in cui il piano secante interseca il piano $xy$, su cui giace la base del nostro cilindroide:

2° Dalle due retta $\rho ,\rho '$ ortogonali alla precedente, in cui il piano secante interseca il cilindro, superficie laterale del nostro cilindroide: rette che sono evidentemente generatrici di questo cilindro, e parallele all'asse delle $z$.

3° Dalla curva $C$ in cui il nostro punto interseca la superficie $z=F(x,y)$.

Se noi assumiamo nel piano secante la retta $r$ come asse delle $x$, e la retta in cui esso interseca il piano $yz$ come asse delle $z$, la curva $C$ avrà per equazione $z=F(x,y)$, dove alla $y$ si attribuisca il valore costante corrispondente al nostro piano secante; e l'area del nostro rettangoloide sarà perciò appunto$\int _{A}^{R}F(x,y)dx$, che coincide con l'integrale considerato. E altrettanto si trova se una retta $y={\text{cost.}}$ del piano $xy$ interseca il contorno $\sigma$ in più di due punti, e quindi la sezione del nostro cilindroide col piano $y={\text{cost.}}$ è la somma di due o più rettangoloidi.

La formola (1) del § 103 ci dà dunque il seguente teorema, che avevamo già dimostrato in casi particolati, usando però del linguaggio del calcolo differenziale (o calcolo delle derivate) (pag. 167):

Teor. 1°. Il volume del nostro cilindroide si ottiene integrando rapporto alla $\mathrm {y}$ l'area della sezione fattavi con un piano $\mathrm {y=cost.}$.

E questo teorema si può estendere a solidi qualunque (decomponibili in cilindroidi).

Teor.. 2° Scelta una retta come asse delle $\mathrm {y}$, il volume di un tale solido è uguale all'integrale rispetto alla $\mathrm {y}$ dell'area della sezione fatta con un piano $\mathrm {y=cost.}$.

Il precedente teor. 1° si può considerare come l'enunciato geometrico del teorema contenuto nella (1) del § 103, anche quando $F(x,y)$ non sia sempre positivo, purchè si considerino come negativi i volumi delle porzioni di un solido poste al disotto del piano $xy$ e le aree delle corrispondenti sezioni con un piano $y={\text{cost.}}$.