Lezioni di analisi matematica/Capitolo 16/Paragrafo 105

by Guido Fubini

Capitolo 16 - Dimostrazione rigorosa dei risultati precedenti

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 16 - Dimostrazione rigorosa dei risultati precedenti

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§ 105. — Dimostrazione rigorosa dei risultati precedenti.

Per dimostrare¹, p. es., che

$\int _{\sigma }Fd\sigma =\int _{\sigma }dx\int F(x,y)dy$,

basta provare che il secondo membro è una funzione additiva di $\sigma$ la cui derivata vale $F</matHh>.Notiamochel'integrale<math>\int F(x,y)dx$ del secondo membro è esteso all'intervallo $\lambda$, o alla somma $\lambda$ degli intervalli che su una retta $r$ (luogo dei putni aventi l'ascissa $x={\text{cost.}}$ sono determinati da $\sigma$. E, se $\sigma$ è somma di due campi parziali $\sigma _{1},\sigma _{2}$, e indichiamo con $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$ gli intervalli determinati sulla $r$ da $\sigma _{1}$ e da $\sigma _{3}$, sarà $\lambda =\lambda _{1}+\lambda _{2}$ e quindi:

(1)   $\int _{(\lambda )}F(x,y)dy=\int _{(\lambda _{1})}F(x,y)dy+\int _{(\lambda _{2})}F(x,y)dy$.

È da avvertire che può darsi benissimo che l'una o l'altra delle $\lambda _{1},\lambda _{2}$ si annulli, cioè che $r$ non abbia intervalli interni a $\sigma _{1}$ od a $\sigma _{2}$. In tal caso l'integrale corrispondente del secondo membro di (1) si deve naturalmente considerare come nullo.

Se ne deduce facilmente che:

$\int dx\int _{(\lambda )}F(x,y)dy=\int dx\int _{(\lambda _{1})}F(x,y)dy+\int dx\int _{(\lambda _{2})}f(x,y)dy$,

ossia che il valore di

(2)                                        $\int dx\int F(x,y)dy$

corrispondente ad un'area $\sigma$ somma delle aree parziali $\sigma _{1},\sigma _{2}$ è uguale alla somma di valori (2) corrispondenti alle aree $\sigma _{1},\sigma _{2}$. Quindi (2) è funzione additiva di $\sigma$.

Si noti ora che, se $M$ ed $m$ sono il massimo ed il minimo della $F(x,y)$ nel campo $\sigma$,, il valore di (2) per il campo $\sigma$ è compreso tra

$\int dx\int Mdy=M\int dx\int dy$,

$\int dx\int mdy=m\int dx\int dy$.

Dimostriamo ora che:

Il valore di

                                                  $\int dx\int dy$                    (3)

esteso a un campo $\mathrm {\sigma }$ vale l'area di $\mathrm {\sigma }$.

Cominciamo col supporre che $\sigma$ sia incontrato in due punti al più di ogni parallela all'asse delle $y$. Lo $\int dy$ deve essere esteso all'intervallo $(y_{1},y_{2})$ determinato da $\sigma$ su una retta $x={\text{cost.}}$, cioè (se $y_{1}<y_{2}$) deve essere uguale a $y_{2}-y_{1}$². Cosicchè

(4)    $\int dx\int dy=\int _{l}^{L}(y_{2}-y_{1})dx=\int _{l}^{L}y_{2}dx-\int _{l}^{L}y_{1}dx$. Ora $\int _{l}^{L}y_{2}dx$ è l'area del rettangoloide limitato dall'asse delle $x$, delle due ordinate passanti per <math<A</math> e per $B$ (cfr. fig. 41) e della curva $ACB$, mentre $\int _{l}^{L}y_{1}dx$ è l'area del rettangoloide limitato dalle stesse rette e dalla curva $ADB$ (fig. 41). Fig. 41. La differenza del terzo membro di (4) vale quindi la differenza tra le aree dei due rettangoloidi, cioè l'area di $\sigma$

c.d.d.

Se $\sigma$ è decomponibile in più campi $\sigma _{1},\sigma _{2},.....,\sigma _{n}$, il contorno di ciascuno dei quali è incontrato al più in due punti da una retta $x={\text{cost.}}$ (come avviene nei casi più comuni) l'integrale (3) esteso a $\sigma$ ha un valore che, come sappiamo, è la somma dei valori corrispondenti ai campi $\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{n}$ ed è quindi ancora uguale all'area di $\sigma$, c. d. d. (Per semplicità escludiamo le aree $\sigma$, che non si possono decomporre nel modo citato).

Ne segue dubito il nostro teorema; infatti il quoziente ottenuto dividendo (2) per l'area $\sigma$, cioè per (3), è compreso, per quanto già vedemmo, tra $M$ ed $m$, ossia un valore che $F$ assume in un punto di $\sigma$. Se dunque tutti i punti di $\sigma$ tendono a un punto $A$, tale quoziente tende al valore di $F$ in $A$. perciò $F$ è la derivata di (2)</math>.

I^a Osservazione.

In modo simile col simbolo $\int dx\int dy\int F(x,y,z)dz$ esteso a un solido $\tau$ si intende, se $F(x,y,z)$ è continua, quel numero che si ottiene integrando la $F(x,y,z)$ lungo il segmento, o i segmenti che su una retta $y={\text{cost.}},x={\text{cost}}$ sono determinati da <math<\tau</math>, e integrando poi l'integrale così trovato nell'area proiezione di $\tau$ sul piano $xy$.

Se $F=1$, tale integrale è il volume di $\tau$. In generale esso è quella funzione additiva di $\tau$, che ha per derivata $F(x,y,z)$.

II^a Osservazione.

La definizione di derivata di una funzione additiva ha profonda analogia con la definizione di derivate di una funzione di una o più varabili. Tale profonda analogia si può rilevare per altra via anche dalle considerazioni seguenti.

Sia $I$ una figura piana; e sia $S$ una funzione additiva dei pezzi $\tau$ di $I$. Consideriamo quei pezzi $\tau$, che sono rettangoli coi lati paralleli agli assi coordinati, di cui un vertice è un punto fisso di $I$ di coordinate $(a,b)$ è il vertice opposto è un punto mobile $x,y$. Per tali $\tau$ si ha, detta $F(x,y)$ la derivata di $S$, che $S(\tau )=\int _{a}^{x}dx\int _{b}^{y}F(x,y)dy$ è una funzione $\varphi (x,y)$ delle $x,y$. E la derivata $F$ della funzione $S(\tau )$ coincide con la derivata mista ${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial x}}$ della $\varphi$. L'sser. che chiude il § 80 (pag. 272), corrisponde perciò al teorema della media per le funzioni additive.

Questo risultato si estende subito ai campi a tre dimensioni notando, che posto

$\varphi (x,y,z)=\int _{a}^{x}dx\int _{b}^{y}dy\int _{c}^{z}F(x,y,z)dz$, si ha ${\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial y\partial z}}=F(x,y,z)$.

Esempi.

I. Si calcoli il volume V dell'ellissoide ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$.

Calcoliamo il volume ${\frac {V}{2}}$ del semiellissoide posto nella regione $z>0$. Tale semiellissoide si può considerare come un cillindroide avente per base $\sigma$ sul piano $xy$ l'ellisse ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, e determinato dalla superficie $z=+c{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}$.

I valori tra cui varia la $y$ di un punto di $\sigma$ su una retta $x={\text{cost}}$. sono chiaramente $\pm b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{3}}}}}=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$.

Quindi:

${\frac {V}{2}}=\int _{-a}^{+a}dx\left[\int _{-{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}^{+{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}c{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}dy\right]=$

$={\frac {c}{2}}\int _{-a}^{+a}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{3}}}\right)dx={\frac {4}{3}}{\frac {\pi abc}{2}}$.

In modo simile si ha

${\frac {V}{2}}=\int _{-b}{+a}dy\left[\int _{-{\frac {a}{b}}{\sqrt {b^{2}-y^{2}}}}^{+{\frac {a}{b}}{\sqrt {b^{2}-y^{2}}}}c{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{y^{2}}{b^{2}}}}dx\right]={\frac {4}{3}}{\frac {\pi abc}{2}}$

donde $V={\frac {4}{3}}\pi abc$.

II. Se l'asse delle $x$ è verticale volto in basso, e $I$ è una parete piana verticale di una vasca piena d'acqua, posta nel piano $xy$, e se l'asse delle $y$ coincide col pelo libero dell'acqua, la spinta idraulica sostenuta da $I$ vale (§ 100, $\gamma$, es. III°)

$\int dy\int xdx=\int xdx\int dy$ esteso ad $I$.

Si applichi questa formola al caso che $I$ sia un rettangolo o semicerchio col diametro sull'asse delle $y$.

Note

1. Nel corso di questa dimostrazione faremo, come si vedrà, alcune ipotesi sul campo $\tau$, e sul suo contorno, che sono del resto pochissimo restrittive in pratica. Appunto perciò alcune di essere sono enunciare soltanto a piè di pagina. Questo teorema vale del resto in casi estremamente più generali di quelli qui considerati.
2. Si ammette che $y_{1}$ ed $y_{2}$ siano funzioni continue della $x$.