Lezioni di analisi matematica/Capitolo 16/Paragrafo 103

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 16 - Calcolo di un integrale superficiale

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[p. 337 modifica]

§ 103. — Calcolo di un integrale superficiale.

Se $\mathrm {F(x,y)}$ è una funzione continua in una regione $\mathrm {\sigma }$ del piano $\mathrm {xy}$ , come si calcola lo $\mathrm {\int _{\sigma }F(x,y)d\sigma }$ ? o meglio: Come se ne può ridurre il calcolo a quello di integrali deifniti? Per vederlo cominceremo ad usare metodi poco rigorosi salvo a verificare poi i risultati ottenuti nel modo più preciso.

Se noi dividiamo l'area $\sigma$ in pezzetti con rette parallele agli assi delle $x$ e delle $y$ , l'area $\sigma$ verrà scomposta in rettangoli, e in altri pezzetti, il cui contorno contiene dei pezzi del contrno $\sigma$ . Se noi supponiamo (cfr. § 99, pag. 328) che questi ultimi pezzetti siano trascurabili (che diano cioè un contribuo infinitesimol), basterà che consideriamo i rettangolini tutti interni a $\sigma$ , la cui area è $\Delta x\Delta y$ , se $\Delta x$ e $\Delta y$ sono rispettivamente le distanze di due delle rette da noi tirate parallelamente all'asse delle $x$ , o all'asse delle $y$ . Considerando dapprima i rettangoli posti p. es. in una stessa striscia parallela all'asse delle $x$ , e poi le varie strisce, la somma $\Sigma F_{i}\delta _{i}$ dell'ultimo paragrafo diventa:

$\Sigma \,F\,\Delta \,x\,\Delta \,y\,=\,\Sigma \,\Delta \,y\,\Sigma \,F\,\Delta \,x$ ,

dove la $\Sigma F\Delta x$ è relativa ai rettangoli di una stessa striscia, mentre l'altro simbolo $\Sigma$ di somma si riferisce alle varie striscie. Possiamo scegliere gli stremi di una retta¹ $y={\text{cost.}}$ nel contorno di $\gamma$ , e poi i valori $F$ ² intermedi in guida tale che [p. 338 modifica] $\Sigma F\Delta x=\int Fdx$ . L'integrale così ottenuto dipende dal calore dato alla $y$ ; è cioè una funzione $\varphi (y)$ della $y$ . Se essa è continua, allora $\lim _{\Delta y=0}\Sigma \varphi (y)\Delta y=\int \varphi (y)dy$ , cosicchè si avrà finalmente:

$\int _{\sigma }F(x,y)d\sigma =\lim _{\Delta x=0\Delta y=0}\Sigma F\Delta x\Delta y=\int [\int F(x,y)dx]dy$ ,

o come si suol scrivere:

$\int _{\sigma }F(x,y)d\sigma =\int dy\int F(x,y)dx=\int \int F(x,y)dxdy$ .

Nel cambiamento di variabili coordinate non si può però (come nel caso di funzioni di una sola variabile) applicare ai simboli $dx,dy$ la regola per il calcolo dei differenziali (cfr. l'oss. 1^a del seg. § 108 a pag. 352).

Prima di dimostrare con rigore questa formola, dobbiamo intendere con precisione il suo significato. Quando noi abbiamo scritto

$\int F(x,y)dx=\lim _{\Delta x=0}\Sigma F\Delta x$ ,

noi tenendo costante la $y$ , cioè muovendoci su una rettaFig. 39. $AB$ parallela all'asse delle $x$ (cfr. fog. 39) abbiamo trovato (a meno del fattore $\Delta y$ ) la somma dei contributi portati dai rettangolini contenenti nella striscia compresa tra la retta $AB$ e la retta parallela consecutiva, su cui l'ordinata ha il valore $y=\Delta y$ . Perciò la nostra integrazione è eseguita rispetto alla $x$ (quando si considera la $y$ come costante) in un intervallo che, al limite, coincide con $AB$ (fig. 39). Cosicchè i limiti inferiore e superiore, tra cui si deve calcolare l'integrale $\int F(x,y)dx$ , sono le ascisse di $A$ e di $B$ . Chè se invece acessimo dato alla $y$ il valore corrispondente alla retta $A'B'$ (cfr. fig. 39), il simbolo [p. 339 modifica] $\int F(x,y)dx$ significherebbe la somma degli integrali (eseguiti considerando $y$ come costante) estesi ai due intervalli $A'C',D'B'$ che la retta $A'B'$ possiede interni all'area $\sigma$ .

Il valore di $\int F(x,y)dx$ dipende perciò dal valore dato alla $y$ ; e cioè una funzione $\varphi (y)$ della $y$ . E la nostra formola ci dice che noi dobbiamo integrare questa funzione rapporto ad $y$ . Tra quali limiti si deve fare questa seconda integrazione? Poichè si deve tener conto di tutto il campo $\sigma$ , essa dovrà quindi essere eseguita nell'intervallo ( $n,N$ ), se $n$ ed $N$ sono i valori minimo e massimo della $y$ in $\sigma$ .

Se noi per fissare le idee supponiamo che il contorno di $\sigma$ sia incontrato in due punti al più da una parallela a uno degli assi coordinati, le ascisse dei punti $A,B$ dei punti ove una retta $y={\text{cost.}}$ incontra il contorno di $\sigma$ saranno due funzioni $\alpha (y)$ e $\beta (y)$ della $y$ . E le ordinate dei punti $C,D$ , ove una retta $x={\text{cost.}}$ incontra il contorno di $\sigma$ , saranno due funzioni $\gamma (x)$ e $\delta (x)$ della $x$ .

Se dunque diciamo $n,N$ ed $l,L$ i valori minimi e massimi rispettivamente della $y$ e della $x$ in $\sigma$ , troveremo:

(1) $\int _{\sigma }Fd\sigma =\int _{n}^{N}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}F(x,y)dx$ ³.

E, scambiando i due assi, coordinati, troveremo per simmetria:

(2) $\int _{\sigma }Fd\sigma =\int _{l}^{L}dx\int _{y(x)}^{\delta (x)}F(x,y)dy$ .

Come si vede, confrontando queste formole è lecito cambiare l'ordine delle integrazioni, purchè si cambino convenientemente i limiti dei corrispondenti integrali. È evidente che i limiti non dovrebbero essere cambiati nel caso che $\sigma$ fosse un rettangolo coi lati paralleli agli assi coordinati⁴, come il lettore può facilmente verificare facendo la figura.

Note

↑ Suppongo gli estremi di una retta $y={\text{cost.}}$ sul controrno di $\gamma$ : ciò che è un errore perchè avendo trascurato i pezzetti posti sul contorno di $\gamma$ , potrebbe darsi che gli estremi da considerare fossero interni a $\gamma$ . Un'osservazione analoga si può ripetere più sotto. Noi ammettiamo provvisoriamente che l'errore commesso tenda a zero e sia quinti trascurabile.
↑ Suppongo che $F$ sil il valore assunto da $F(x,y)$ su uno dei lati del nostro rettangolo paralleli all'asse delle $x$ .
↑ Si ricordi (§ 88) che se $F(x,y),\alpha (y),\beta (y)$ sono funzioni continue, anche $\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}F(x,y)dx$ è funzione continua della $y$ e si può quindi integrare rispetto alla $y$ .
↑ Si applichi questo risultato all'ultima formola del § 93, pag. 307. In questa formola i limiti d'integrazione sono uguali nei due membri, perchè siamo nel caso particolarissimo di un integrale doppio esteso a quel rettangolo coi lati paralleli agli assi coordinati, di cui l'origine e il punto ( $x,y$ ) sono vertici opposti.

[1] Suppongo gli estremi di una retta $y={\text{cost.}}$ sul controrno di $\gamma$ : ciò che è un errore perchè avendo trascurato i pezzetti posti sul contorno di $\gamma$ , potrebbe darsi che gli estremi da considerare fossero interni a $\gamma$ . Un'osservazione analoga si può ripetere più sotto. Noi ammettiamo provvisoriamente che l'errore commesso tenda a zero e sia quinti trascurabile.

[2] Suppongo che $F$ sil il valore assunto da $F(x,y)$ su uno dei lati del nostro rettangolo paralleli all'asse delle $x$ .

[3] Si ricordi (§ 88) che se $F(x,y),\alpha (y),\beta (y)$ sono funzioni continue, anche $\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}F(x,y)dx$ è funzione continua della $y$ e si può quindi integrare rispetto alla $y$ .

[4] Si applichi questo risultato all'ultima formola del § 93, pag. 307. In questa formola i limiti d'integrazione sono uguali nei due membri, perchè siamo nel caso particolarissimo di un integrale doppio esteso a quel rettangolo coi lati paralleli agli assi coordinati, di cui l'origine e il punto ( $x,y$ ) sono vertici opposti.

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