Lezioni di analisi matematica/Capitolo 16/Paragrafo 102

by Guido Fubini

Capitolo 16 - Generalizzazione dei teoremi fondamentali del calcolo integrale

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 102. — Generalizzazione dei teoremi fondamentali
del calcolo integrale.

Sia $I$ un campo di una o più dimensioni. Sia $F$ una funzione continua delle coordinate di un suo punto. Con considerazioni analoghe a quelle dei §§ 96 e § 96^bis (in cui si sostituisca alla considerazione dell'area di un rettangoloide quella del volume di un cilindroide, oppure quella del peso di un corpo o di una lamina pesante o un altro esempio di tipo analogo) si dimostra che:

I. Esiste una e una sola funzione additiva $\mathrm {S(\tau )}$ dei pezzi $\mathrm {\tau }$ di $I$, che ha per derivata la data funzione continua $\mathrm {F}$. II. Il valore $\mathrm {S(\tau )}$ di tale funzione corrispondente a un pezzo $\mathrm {\tau }$ di $I$ si può definire nel seguente modo. Scomposto il campo $\mathrm {\tau }$ in campi parziali $\mathrm {\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},.....\tau _{n}}$ detti $\mathrm {M}$, ed $\mathrm {m_{r}}$ il valore massimo e il valore minimo della $\mathrm {F}$ nel campo $\mathrm {\tau _{r}}$ e detto $\mathrm {F_{r}}$ un qualsiasi numero compreso tra $\mathrm {m_{r}}$ ed $\mathrm {M_{r}}$, il numero $\mathrm {S(\tau )}$

$\alpha$) è il numero che separa le classi contigue generate dalle due somme $\mathrm {\Sigma M\tau =M_{1}\tau _{1}+M_{2}\tau _{2}+.....+M_{r}\tau _{r}}$ e $\mathrm {\Sigma m\tau =m_{1}\tau _{1}+m_{2}\tau _{2}+.....m_{r}\tau _{r}}$, ($\mathrm {\tau _{r}}$ è la misura del campo parziale $\mathrm {\tau _{r}}$ nelle convenzioni adottate);

$\beta$) è il limite di $\mathrm {\Sigma F_{r}\tau _{r}=F_{1}\tau _{1}+F_{2}\tau _{2}+.....+F_{r}\tau _{r}}$, quando tende a zero la massima corda di ciascun pezzo $\mathrm {\tau _{r}}$;

$\gamma$) è proprio uguale a $\mathrm {\Sigma {\bar {F}}_{r}\tau _{r}}$, se $\mathrm {{\bar {F}}_{r}}$ è un numero opportunamente scelto tra $\mathrm {m_{r}}$ ed $\mathrm {M_{r}}$.

Si può anche nel caso attuale estendere la definizione di integrale di Riemann per funzioni limitate.

III. Se $I$ è una regione del piano $\mathrm {xy}$ ed $\mathrm {F(x,y)\geq =}$, allora $\mathrm {S(\tau )}$ è il volume del cilindroide di base $\mathrm {\tau }$, luogo dei punti $\mathrm {(x,y,z)}$ per cui $\mathrm {0\leq z\leq F}$, e la cui proiezione sul piano $\mathrm {xy}$ appartiene a $\mathrm {\tau }$.

Questa definizione additiva $S(\tau )$ si chiama l'integrale di $F$ esteso al campo $\tau$; il suo valore relativo al campo $I$ o al campo $\tau$ si indica con $\int _{I}Fd\tau$ o con $\int _{\tau }Fd\tau$, estendendo così la definizione e la notazione usate per gli integrali definiti.

Se il campo $I$ è a due sole dimenzioni si suole usare la lettera $\sigma$ oppure la $s$ (iniziale della parola superficie) al posto della $\tau$, se si assume come misura di un campo la sua area.

Osservazione.

Per calcolare un integrale si può sempre ridurci al caso, che come misura di questo si adotti la misura geometrica (lunghezza, area, superficie). Se $k$ fosse la misura adottata, e $\tau$ la misura geometrica, si osservi che $\int Fdk=\int \theta \,d\,\tau$ se è posto $\theta =F\left({\frac {dk}{d\tau }}\right)$ cioè uguale al prodotto di $F$ per ${\frac {dk}{d\tau }}$, c. d. d. Se $k$ fosse il peso, questo fattore ${\frac {dk}{d\tau }}$ sarebbe la densità.

Cominceremo dal caso di campi $\tau$ a due dimensioni.

Esempio.

Cosi, come abbiamo già osservato a pag. 335, se $I$ è una lamina o un corpo pesante, $\tau$ è l'area o il volume di un suo pezzo, $\rho$ ne è la densità in un punto, allora l'ascissa del suo centro di gravità vale ${\frac {\int _{I}x\rho d\tau }{\int _{I}\rho d\tau }}$.