Lezioni di analisi matematica/Capitolo 16/Paragrafo 102

Capitolo 16 - Generalizzazione dei teoremi fondamentali del calcolo integrale

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Capitolo 16 - Generalizzazione dei teoremi fondamentali del calcolo integrale
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§ 102. — Generalizzazione dei teoremi fondamentali
del calcolo integrale.

Sia un campo di una o più dimensioni. Sia una funzione continua delle coordinate di un suo punto. Con considerazioni analoghe a quelle dei §§ 96 e § 96bis (in cui si sostituisca alla considerazione dell'area di un rettangoloide quella del volume di un cilindroide, oppure quella del peso di un corpo o di una lamina pesante o un altro esempio di tipo analogo) si dimostra che:

I. Esiste una e una sola funzione additiva dei pezzi di , che ha per derivata la data funzione continua . [p. 336 modifica]II. Il valore di tale funzione corrispondente a un pezzo di si può definire nel seguente modo. Scomposto il campo in campi parziali detti , ed il valore massimo e il valore minimo della nel campo e detto un qualsiasi numero compreso tra ed , il numero

) è il numero che separa le classi contigue generate dalle due somme e , ( è la misura del campo parziale nelle convenzioni adottate);

) è il limite di , quando tende a zero la massima corda di ciascun pezzo ;

) è proprio uguale a , se è un numero opportunamente scelto tra ed .

Si può anche nel caso attuale estendere la definizione di integrale di Riemann per funzioni limitate.

III. Se è una regione del piano ed , allora è il volume del cilindroide di base , luogo dei punti per cui , e la cui proiezione sul piano appartiene a .

Questa definizione additiva si chiama l'integrale di esteso al campo ; il suo valore relativo al campo o al campo si indica con o con , estendendo così la definizione e la notazione usate per gli integrali definiti.

Se il campo è a due sole dimenzioni si suole usare la lettera oppure la (iniziale della parola superficie) al posto della , se si assume come misura di un campo la sua area.

Osservazione.

Per calcolare un integrale si può sempre ridurci al caso, che come misura di questo si adotti la misura geometrica (lunghezza, area, superficie). Se fosse la misura adottata, e la misura geometrica, si osservi che se è posto cioè uguale al prodotto di per , c. d. d. Se fosse il peso, questo fattore sarebbe la densità.

Cominceremo dal caso di campi a due dimensioni. [p. 337 modifica]

Esempio.

Cosi, come abbiamo già osservato a pag. 335, se è una lamina o un corpo pesante, è l'area o il volume di un suo pezzo, ne è la densità in un punto, allora l'ascissa del suo centro di gravità vale .