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capitolo xvi — § 103

$\Sigma F\Delta x=\int Fdx$ . L'integrale così ottenuto dipende dal calore dato alla $y$ ; è cioè una funzione $\varphi (y)$ della $y$ . Se essa è continua, allora $\lim _{\Delta y=0}\Sigma \varphi (y)\Delta y=\int \varphi (y)dy$ , cosicchè si avrà finalmente:

$\int _{\sigma }F(x,y)d\sigma =\lim _{\Delta x=0\Delta y=0}\Sigma F\Delta x\Delta y=\int [\int F(x,y)dx]dy$ ,

o come si suol scrivere:

$\int _{\sigma }F(x,y)d\sigma =\int dy\int F(x,y)dx=\int \int F(x,y)dxdy$ .

Nel cambiamento di variabili coordinate non si può però (come nel caso di funzioni di una sola variabile) applicare ai simboli $dx,dy$ la regola per il calcolo dei differenziali (cfr. l'oss. 1^a del seg. § 108 a pag. 352).

Prima di dimostrare con rigore questa formola, dobbiamo intendere con precisione il suo significato. Quando noi abbiamo scritto

$\int F(x,y)dx=\lim _{\Delta x=0}\Sigma F\Delta x$ ,

noi tenendo costante la $y$ , cioè muovendoci su una rettaFig. 39. $AB$ parallela all'asse delle $x$ (cfr. fog. 39) abbiamo trovato (a meno del fattore $\Delta y$ ) la somma dei contributi portati dai rettangolini contenenti nella striscia compresa tra la retta $AB$ e la retta parallela consecutiva, su cui l'ordinata ha il valore $y=\Delta y$ . Perciò la nostra integrazione è eseguita rispetto alla $x$ (quando si considera la $y$ come costante) in un intervallo che, al limite, coincide con $AB$ (fig. 39). Cosicchè i limiti inferiore e superiore, tra cui si deve calcolare l'integrale $\int F(x,y)dx$ , sono le ascisse di $A$ e di $B$ . Chè se invece acessimo dato alla $y$ il valore corrispondente alla retta $A'B'$ (cfr. fig. 39), il simbolo