Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 98

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 15 - Il metodo dei trapezi per il calcolo approssimato degli integrali definiti

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[p. 320 modifica]

§ 98. — Il metodo dei trapezi
per il calcolo approssimato degli integrali definiti.

$\alpha$ ) Tra le tante formole approssimate per il calcolo degli integrali definiti, ricorderemo ancora la seguente, specialmente semplice.

Supponiamo di voler calcolare $\int _{a}^{b}f(x)dx$ (con $a<b$ ).

Supponiamo dapprima $f(x)\geq 0$ .

Fig. 35.

Rappresentiamo questo integrale con l'area del rettangoloide compreso tra l'asse delle $x$ , la curva $y=f(x)$ e le ordinate

$x=a;x=b$ .

Supponiamo che la curva $y=f(x)$ presenti la concavità¹ verso l'asse delle $x$ ; nella fig. 35 è indicato con

$A_{1}A_{2n+1}a_{1}a_{2n+1}$

[p. 321 modifica]il rettangoloide, di cui vogliamo calcolare l'area. Dividiamo la base del rettangoloide in $2\,n$ parti uguali; indichiamo i punti di divisione con $a_{1}=a,a_{2},a_{3},.....,a_{n+1}=b$ e conduciamo per tali punti le ordinate $y_{1},y_{2},y_{3},.....y_{2n+1}$ . Se traccio i segmenti {{centrato| $A_{1}A_{2},A_{2},A_{3},.....,A_{2n}A_{2n+1}$ , ottengo tanti trapezi $A_{1}A_{2}a_{1}a_{2},A_{2}A_{3}a_{2}a_{3},.....,$ la cui somma ci dà un poligono tutto interno al rettangoloide $A_{1}A_{2n+1}a_{1}a_{2n+1}$ ; quindi la somma delle aree di detti trapezi ci darà un valore approssimato per difetto dell'area del rettangoloide e quindi un valore approssimato per difetto di $\int _{a}^{b}f(x)dx$ .

Ora, se con $B$ indico il segmento $ab=a_{1}a_{2n+1}$ sarà ${\frac {B}{2\,n}}$ il valore di ognuna delle $2\,n$ parti uguali in cui esso è stato diviso, ossia l'altezza di ognuno dei trapezi ottenuti; le basi di questi essendo poi rispettivamente le ordinate $y_{1}y_{2},.....,y_{2n+1}$ , sarà:

area $a_{1}A_{2}a_{1}a_{2}={\frac {B}{2\,n}}{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}$

area $A_{2}A_{3}a_{2}a_{3}={\frac {B}{2\,n}}{\frac {y_{2}+y_{3}}{2}}$

$.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.$

area $A_{2n}A_{2n+1}a_{2n}a_{2n+1}={\frac {B}{2\,n}}{\frac {y_{2n}+y_{2n+1}}{2}}$ .

E l'area totale del poligono interno al rettangoloide sarà la somma delle aree precedenti

${\frac {b}{2\,n}}\left\{{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}+{\frac {y_{2}+y_{3}}{2}}+.....+{\frac {y_{2n}+y_{2n+1}}{2}}\right\}$ .

Osservando che tutte le ordinate $y$ compaiono ciascuna due volte nella formula precedente tranne $y_{1}$ e $y_{2n+1}$ , potremo anche scrivere:

${\frac {B}{2\,n}}\left\{{\frac {y_{1}+y_{2n+1}}{2}}+y_{2}+y_{3}+.....y_{2n}\right\}$ (1)

come un valore approssimato per difetto di $\int _{a}^{b}f(x)$ .

Cerchiamo analogamente un valore approssimato per eccesso dell'area della nostra figura; cerchiamo cioè un poligono che [p. 322 modifica]comprenda all'interno tutta la figura data. A tale scopo per i punti

$(a_{2},y_{2})(a_{4},y_{4}),.....(a_{2n},y_{2n})$

tracciamo le tangenti alla curva (nella figura sono disegnate soltanto le prime due). Consideriamo poi il trapezio limitato dalla tangente nel punto $(a_{2},y_{2})$ dalle ordinate di ascissa $a_{1},a_{3}$ e dalle asse delle $x$ . Consideriamo il trapezio limitato dalla tangente nel punto $(a_{4},y_{4})$ , dalle ordinate di ascissa $a_{3}$ e $a_{5}$ e dall'asse delle $x$ ; e così via fino all'ultimo trapezio limitato dalla tangente nel punto $(a_{2n},y_{2n})$ , dalle ordinate di ascissa $a_{2n-1},a_{2n+1}$ e dall'asse delle $x$ . La somma di tutti questi trapezi costituisce appunto un poligono che comprende all'interno il nostro rettangoloide.

Cerchiamone l'area: essa è la somma delle aree di tutti i trapezi citati. Nel primo di essi l'ordinata $y_{2}$ è la parallela alle basi condotta dal punto di messo dell'altezza $a_{1},a_{3}$ , ed è uguale perciò alla senisomma delle basi.. Poichè l'altezza $a_{1}a_{3}$ vale $2{\frac {B}{2\,n}}={\frac {B}{n}}$ , l'area di detto trapezio sarà ${\frac {B}{n}}y_{2}$ . In modo simile le aree degli altri trapezi valgono ordinatamente

${\frac {B}{n}}y_{4},{\frac {B}{n}}y_{6},.....,{\frac {B}{n}}y_{2n}$ ;

e l'area totale del nostro poligono varrà

${\frac {B}{n}}(y_{2}+y_{4}+y_{6}+.....y_{2n})$ , (2)

che è quindi un valore approssimato per eccesso di $\int _{a}^{b}f(x)dx$ .

Al crescere di $n$ , cresce generalmente l'approssimazione che le formole (1), (2) danno per il valore di questo integrale; la differenza tra (1) e (2) tende anzi a zero per $n=\infty$ (Cfr. questo § 98, $\zeta$ , pag. 324).

$\beta$ ) Se la curva $y=f(x)$ volgesse la convessità verso l'asse delle $x$ , e quindi la tangente in ogni suo punto penetrasse nel rettangoloide, il ragionamento sin invertirebbe, in quanto che il poligono avente per lati il segmento $a_{1}a_{2n+1}$ dell'asse delle $x$ , le ordinate $y_{1}y_{2n+1}$ degli estremi $a.b$ e le corde $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},.....$ , che nel primo caso era contenuto nel rettangoloide, contiene ora invece il rettangoloide all'interno; e il suo valore (1) [p. 323 modifica]rappresenta quindi un valore approssimato in eccesso del nostro integrale.

Laddove invece il poligono avente per lati il segmento

a_{1}a_{2n+1}

, le ordinate degli estremi

a_{1},a_{2n+1}

, e le tangenti nei puntiù

$A_{2},A_{1},.....,A_{2n}$

è tutto interno al nostro rettangoloide, e la sua area (2) rappresenta un valore approssimato in difetto del nostro integrale.

Fig. 36

$\gamma$ ) Se la $f(x)$ fosse negativa nell'intervallo che si considera, si possono ripetere le considerazioni precedenti con poche modificazioni, purchè si considerino negative le aree dei poligoni considerati. In altre parole, il nostro integrale è negativo; e per il tuo valore assoluto si possono ripetere le precedenti considerazioni.

$\delta$ ) Se l'intervallo, a cui è esteso $\int f(x)dx$ , fosse un intervallo, in parte del quale la $F8x)$ è positiva, e in parte del quale la $f(x)$ è negativa, o anche se in un parte dell'intervallo la $y=f(x)$ volge la concavità all'asse delle $x$ , mentre nell'altra parte volge la convessità, allora supporremo (come avviene sempre nei casi comuni) che l'intervallo si possa dividere in un numero finito di intervalli parziali, in ciascuno dei quali la $f(x)$ ha uns egno costante, e la $y=f(x)$ volge la concavità sempre da una stessa parte, coè p. es., anche $f''(x)$ ha segno costante [p. 324 modifica](potendo esser nulla agli estremi dell'intervallo parziale considerato). Si applicano a ciascuno di questi intervalli parziali i metodi precedenti. La somma dei valori approssimati in difetto così ottenuti, e la somma dei valori approssimati in difetto così ottenuti, e la somma dei valori approssimati per eccesso costituiranno un valore approssimato in difetto, e un vaore approssimato per eccesso del nostro integrale.

$\epsilon$ ) Il metodo precedente si può generalizzare, dividendo $(a,b)$ in $2n$ parti $d_{1},d_{2},d_{3},.....,d_{2n-1},d_{2n}$ . Detti ancora $a_{2},a_{3},.....,a_{2n}$ i punti di divisione, si possono ripetere le precedenti considerazioni, purchè alle (1), (2) si sostituiscano le:

$d_{1}\left({\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}+{\frac {y_{2}+y_{3}}{2}}\right)+d_{3}\left({\frac {y_{3}+y_{4}}{2}}+{\frac {y_{4}+y_{5}}{2}}\right)+.....$

$.....+d_{2n-1}\left({\frac {y_{2n-1}+y_{2n}}{n}}+{\frac {y_{2n}+y_{2n+1}}{2}}\right)$ ; (1)^bis

$2(d_{1}y_{2}+d_{3}y_{4}+.....d_{sn-1}y_{2n})$ . (2)^bis

Queste formole, più incomode al calcolo numerico delle (1), (2), danno però approssimazioni migliori, quando si abbia cura di disegnare molti intervallini parziali in corrispondenza ai tratti, ove la nostra curva si allontana rapidamente dalla sua tangente.

$\zeta$ ) Si può usare anche una sola di queste formole, quando però si sappia apprezzare l'errore commesso. Indicati ancora con $a_{4}$ i punti di divisione (cosicchè $a_{2i\pm 1}=a_{2i}\pm d_{2i}$ ), posto $y_{s}=f'(a_{s})$ e $y'_{s}=f'(a_{s})$ , sarà per la formola di Taylor-Lagrange $y_{2i\pm 1}=f(a_{2i}\pm d_{2i})=y_{2i}\pm d_{2i}y'_{2i}+{\frac {1}{2}}d_{2i}^{2}\beta _{2i\pm 1}$ dove le $\beta$ sono valori intermedii di $y''$ . Poichè $d_{2i}=d_{2i-1}$ , il valore assoluto della differenza tra (1)_bis e (2)_bis (a cui tale errore non può essere superiore) non supera (supposto finito il limite superiore $H$ di $|y''|$ ) ${\frac {1}{2}}H(d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+.....+d_{2n}^{2})$ . Se, p. es., i $d$ sono tutti uguali tra loro, e quindi a ${\frac {B}{2\,n}}$ , tale errore non supera ${\frac {HB^{2}}{8\,n}}$ , che tende a zero per $\mathrm {n=\infty }$ (cfr. questo § 98, $\alpha$ , pag. 322).

$\eta$ Le (1), (2) si prestano bene ad un calcolo meccanico; le (1)_bis, (2)_bis, oltre alle più semplici (1), (2) si prestano anche a un calcolo grafico. [p. 325 modifica]Si giunge a un procedimento meccanico, osservando che le somme $y_{2}+y_{2}+.....+y_{2n}$ e $y_{2}+y_{3}+y_{6}+.....+y_{2n}$ , che compaiono nelle (1), (2) si calcolano facilmente così; Una rotella $R$ munita di un contagiri sia fatta rotare senza strisciare sul foglio $F$ del disegno in guisa che il punto di contatto descriva successivamente uno o più segmenti (p. es., $y_{2},y_{3},.....,y_{2n}$ ). Il numero $N$ dei giri compiuti da $R$ (che si legge sul contagiri) sarà uguale ad una certa costante $k$ (dipende dalla data rotella; è $k={\frac {1}{2\,\pi \,r}}$ , se $r$ è il raggio di $R$ ed è $k=1$ se $\left.r={\frac {1}{2\,\pi }}\right)$ moltiplicata per la somma delle lunghezze dei segmenti descritti; cosicchè questa somma (p. es. nel caso citato la $y_{2}+y_{3}+...+y_{2n}$ ) varrà ${\frac {1}{k}}N$ ; e si otterrà con una semplice lettura di $N$ (anzi una opportuna graduazione può permettere di leggere sullo strumento addirittura il numero ${\frac {1}{k}}N$ ). E il calcolo dei valori approssimati del nostro integrale si compiè allora con la massima rapidità.

Si giunge a un metodo grafico, osservando che il prodotto $c$ dei numeri $a,b$ (che siano misura di certi segmenti, che indicheremo pure con $a,b$ ) è la misura di quel segmento $c$ tale che $c:a=b:1$ , dove con $1$ indico anche il segmento scelto come unità di misura. La teoria dei triangoli simili insegna subito a disegnare il segmento $c$ . ora, p. es., la (2)_bis è somma di più termini, ciascuno dei quali è prodotto delle misure di due segmenti, e per cui è quindi applicabile il metodo precedente². [p. 326 modifica] $\delta$ ) Esistono altri metodi di calcolo approssimato di tipo analogo: uno di essi consiste nel sostituire alla funzione $y=f(x)$ la funzione $y=p(x)$ , dove $p(x)$ è un polinomio di grado $m-1$ , che in $m$ punti di intervallo $(a,b)$ assume lo stesso valore che $f(x)$ , (per il calcolo di tale polinomio cfr. § 27, pag. 90 e pag. 48) e dpve $m$ è un intero abbastaza grande.

Oppure si può dividere l'intervallo totale $(a,b)$ in $r$ intervallini parziali $l_{1},l_{2},.....l_{r}$ , applicare a ciascuna di questi intervallini il nostro metodo, sostituendo in $l_{i}$ alla math>f(x)</math> un conveniente polinomio $p_{i}(x)$ di grado $m_{i}-1$ , che in $m_{i}$ punti di $l_{i}$ coincida con $f(x)$ , e infine calcolare l'integrale di $p_{i}(x)$ esteso ad $l_{i}$ , e sommare gli integrali così trovati.

Il metodo dei rettangoli coincide con questo, quando si supponga $m_{i}=1$ .

Il metodo dei trapezi si ottiene supponendo $m_{i}=2$ .

Il metodo dei trapezi inscritti, da noi svolto più sopra, coincide con questo, quando suppongo $r=2n,m_{1}=2$ , e ogni polinomio (di primo grado) $p_{i}(x)$ sia supposto uguale ad $f(x)$ agli estremi del corrispondente intervallino. Il metodo dei trapezi circoscritti si deduce dall'attuale, supponendo $r=n,m_{i}=2$ , e facendo tendere al punto di mezzo di $l_{i}=2d_{2i}=2d_{2i-1}$ i due punti di $l_{i}$ ove si suppone $f(x)=p_{i}(x)$ . In entrambi i cali le linee $y=p_{i}(x)$ sono rette (corde o tangenti). Se invece $m_{i}=3$ , le $y=p_{i}(x)$ sono parabole. Supposti, p. es., gli $l_{i}</m<th>tuttiugualia<math>{\frac {R}{r}}$ , posto $r=n$ , supposto $f(x9=p_{i}(x)$ agli estremi $a_{2i-1},a_{2i+1}$ di $l_{i}$ ad al punto di mezzo $a_{2i}$ di $l_{i}$ posto $y_{s}=f(a_{s})$ , il contributo portato da $l_{i}$ (cioè l'integrale di $p_{i}(x)$ tra i limiti $a_{2i-1},a_{2i+1}$ ) si calcola facilmente uguale a ${\frac {B}{6\,n}}[y_{2i-1}+y_{2i+1}+4_{y2i}]$ . La somma di questi contributi per $i=1,2,.....,n$ è un nuovo valore approssimato del nostro integrale. Anche questo metodo si può variare nei modi più molteplici.

Il lettore applichi quanto precede a qualche esempio numerico. Per altri metodi meccanici cfr. gli ultimi §§ di questo libro.

Note

↑ Supponiamo così che esistano le tangenti alla curva, che esse siano esterne al rettangoloide di cui si calcola l'area; in una parola che sia $f''(x)<0$ .
↑ Riferendoni alla fig. 36 di questo § 98, $\beta$ , pag. 323, si indicheranno con $P$ il punto dell'asse delle $x$ , che ha per ascissa $-1$ , con $B_{2},B_{4},.....$ le proiezioni di $a_{2},A_{4},.....$ sull'asse delle $y$ , con $d_{1},d_{2},d_{3},.....$ si segmaneti $a_{1}a_{2},a_{2}a_{3},a_{3}a_{4},.....$ . E si supponga soltanto $d_{1}=d_{2},d_{3}=d_{4}$ , ecc. (anche se $d_{1},d_{3},.....$ sono differenti tra loro). Indichiamo con $a_{3}$ il punto ove la parallela tirata da $a_{4}$ a $PB_{3}$ incontra $a_{3}A_{3}$ ; con $a'_{5}$ il punto ove la parallela tirata da $a'_{3}$ a $PB_{4}$ incontra $a_{5}A_{5}.....$ ; con $a_{2n+1}$ il punto ove la parallela tirata da $a'_{2n-1}$ alla $PB_{2n}$ incontra $a_{2n+1}A_{2n+1}$ . Dico che il segmento $a'_{2n+1}a'_{2n+1}$ vale la somma (2)_bis. Infatti, posto $a'_{1}=a_{1}$ , si tirino da $a'_{2n-1}$ una parallela all'asse delle $x$ , da $a'_{2i+1}$ la parallela all'asse delle $y$ (nella figura è $i=2$ ). Queste rette insieme alla $a'_{2i-1}a'_{2i+1}$ formano un triangolo simile al triangolo $POB_{2i}$ (per $i=1,2,.....,n$ ). E se ne deduce che la differenza tra le ordinate di $a'_{2i+1}$ e $a'_{2i-1}$ sta a $d_{2i-1}+d_{2i}$ come $OB_{2i}=y_{2i}$ sta a $PO=1$ , ossia che tale differenza vale $2y_{2i}d_{2i-1}$ , che è un termine di (2)_bis. La somma di tutte queste differenze, cioè

$(a_{2n+1}a'{2n+1}-a_{2n-1}a'_{2n-1})+(a_{2n-1}a'_{2n-1}-a_{2n-3}a'_{2n-3})+.....$

$.....+(a_{5}a'_{5}-a_{3}a'_{3})+(a_{3}a'_{3}-a_{1}-a'_{1})$ ,

cioè $a_{2n+1}a'_{2n+1}$ (il lettore ricordi che $a_{1}a'_{1}=0$ ) vale dunque la somma (2)_bis, come dovevasi provare.

[1] Supponiamo così che esistano le tangenti alla curva, che esse siano esterne al rettangoloide di cui si calcola l'area; in una parola che sia $f''(x)<0$ .

[2] Riferendoni alla fig. 36 di questo § 98, $\beta$ , pag. 323, si indicheranno con $P$ il punto dell'asse delle $x$ , che ha per ascissa $-1$ , con $B_{2},B_{4},.....$ le proiezioni di $a_{2},A_{4},.....$ sull'asse delle $y$ , con $d_{1},d_{2},d_{3},.....$ si segmaneti $a_{1}a_{2},a_{2}a_{3},a_{3}a_{4},.....$ . E si supponga soltanto $d_{1}=d_{2},d_{3}=d_{4}$ , ecc. (anche se $d_{1},d_{3},.....$ sono differenti tra loro). Indichiamo con $a_{3}$ il punto ove la parallela tirata da $a_{4}$ a $PB_{3}$ incontra $a_{3}A_{3}$ ; con $a'_{5}$ il punto ove la parallela tirata da $a'_{3}$ a $PB_{4}$ incontra $a_{5}A_{5}.....$ ; con $a_{2n+1}$ il punto ove la parallela tirata da $a'_{2n-1}$ alla $PB_{2n}$ incontra $a_{2n+1}A_{2n+1}$ . Dico che il segmento $a'_{2n+1}a'_{2n+1}$ vale la somma (2)_bis. Infatti, posto $a'_{1}=a_{1}$ , si tirino da $a'_{2n-1}$ una parallela all'asse delle $x$ , da $a'_{2i+1}$ la parallela all'asse delle $y$ (nella figura è $i=2$ ). Queste rette insieme alla $a'_{2i-1}a'_{2i+1}$ formano un triangolo simile al triangolo $POB_{2i}$ (per $i=1,2,.....,n$ ). E se ne deduce che la differenza tra le ordinate di $a'_{2i+1}$ e $a'_{2i-1}$ sta a $d_{2i-1}+d_{2i}$ come $OB_{2i}=y_{2i}$ sta a $PO=1$ , ossia che tale differenza vale $2y_{2i}d_{2i-1}$ , che è un termine di (2)_bis. La somma di tutte queste differenze, cioè

$(a_{2n+1}a'{2n+1}-a_{2n-1}a'_{2n-1})+(a_{2n-1}a'_{2n-1}-a_{2n-3}a'_{2n-3})+.....$

$.....+(a_{5}a'_{5}-a_{3}a'_{3})+(a_{3}a'_{3}-a_{1}-a'_{1})$ ,

cioè $a_{2n+1}a'_{2n+1}$ (il lettore ricordi che $a_{1}a'_{1}=0$ ) vale dunque la somma (2)_bis, come dovevasi provare.

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