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capitolo xv — § 94

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$\beta$) Consideriamo ora il caso particolare (che basta ai nostri studii elementari) di una funzione $\varphi (x)$ a derivata $F8x)$ continua. Il teorema della media dice che

                              $\mathrm {{\frac {S(a,b)}{b-a}}={\frac {\varphi (b)-\varphi (a)}{b-a}}=F(c)}$,               (1)

ove $\mathrm {c}$ è un punto opportunamente scelto interno all'intervallo $\mathrm {(a,b)}$.

Se dunque $a,b$ tendono ad uno stesso punto $\alpha$, sarà anche $\lim c=\alpha$, ed, essendo $F(x)$ continua, anche $\lim F(c)=F(\alpha )$. Cioè:

Se l'intervallo $\mathrm {(a,b)}$ tende ad un unico punto $\alpha$, allora il limite di

$\mathrm {\frac {S(a,b)}{b-a}}$

vale $\mathrm {F(x)}$. Perciò:

Se $\mathrm {F(x)=\lim _{a,b=x}{\frac {S(a,b)}{b-a}}}$ è funzione continua, noi la chiameremo derivata della funzione additiva $\mathrm {S(a,b)}$ rispetto all'intervallo $\mathrm {(a,b)}$. Tale derivata è funzione della sola variabile $\mathrm {x}$, e non è più funzione di un intervallo. Evidentemente poi

$S(a,b)=\varphi (b)-\varphi (a)=\int _{a}^{b}F(x)dx$.

Cioè una funzione additiva $\mathrm {S(a,b)}$ conderivata $\mathrm {F(x)}$ (continua) coincide con l'integrale definito $\mathrm {\int _{a}^{b}F(x)dx}$ di tale derivata.

Il teorema della media, che abbiamo scritto nella forma (1), si può anche scrivere così:

$S(a,b)=(b-a)F(c)$.

Se ne deduce:

Siano $\mathrm {M}$ ed $\mathrm {m}$ il massimo ed il minimo valore nell'intervallo $\mathrm {(a,b)}$ della derivata (continua) $\mathrm {F(x)}$ della funzione $\mathrm {S(a,b)}$ additiva d'intervallo; allora $\mathrm {S(a,b)}$ è compreso tra i prodotti di $\mathrm {(b-a)}$ per $\mathrm {M}$ o per $\mathrm {m}$.

Viceversa, se il valore della funzione additiva $\mathrm {S(a,b)}$ è compreso tra $\mathrm {(b-a)M}$ e $\mathrm {(b-a)m}$, dove $\mathrm {M,m}$ sono il massimo e il minimo della funzione continua $\mathrm {F(x)}$, allora $\mathrm {F(x)}$ è la derivata di $\mathrm {S(a,b)}$.