Lezioni di analisi matematica/Capitolo 14/Paragrafo 92

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 14 - Differenziali in tre variabili

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§ 92. — Differenziali in tre variabili.

Il problema analogo per funzioni di tre variabili $x,y,z$ è quello di determinare una funzione $f(x,y,z)$ , di cui sono prefissate le tre derivate prime $M=f'_{x},N=f'_{y},P=f'_{z}$ , o in altre parole è prefissato il differenziale

$df=Mdx+Ndy+Pdz$

( $M,N,P$ funzioni di $x,y,z$ ) Questo problema non è sempre risolubile; se supponiamo infatti che le derivate parziali del primo ordine delle $M,N,P$ esistano, siano finite e continue, esisteranno e saranno finite e continue le

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial M}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial x\partial z}}={\frac {\partial M}{\partial z}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$ ; ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial N}{\partial z}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial P}{\partial x}}$ ; ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}}={\frac {\partial P}{\partial y}}$ .

Donde, per il teorema sull'invertibilità dell'ordine delle derivazioni, si trova che condizioni necessarie affinchè il nostro problema sia risolubile, o, come si suol dire, affinchè

$Mdx+Ndy+Pdz$

sia un differenziale esatto, sono le:

${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$ ; ${\frac {\partial M}{\partial z}}={\frac {\partial P}{\partial x}}$ ; ${\frac {\partial P}{\partial y}}$

[p. 306 modifica]Come nel problema precedente si dimostra che queste condizioni sono sufficienti almeno per il caso che il campo di variabilità per le $M,N,P$ sia un parallelepipedo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati, ed anche in casi assai più generali.