Lezioni di analisi matematica/Capitolo 14/Paragrafo 93

by Guido Fubini

Capitolo 14 - Cenno di un problema analogo ai precedenti

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 14 - Cenno di un problema analogo ai precedenti

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§ 93. — Cenno di un problema analogo ai precedenti.

Un problema analogo è quello di determinare una funzione $\iota (x,y)$ che soddisfi alla ${\frac {\partial ^{2}x}{\partial x\partial y}}=P(x,y)$, dove $P(x,y)$ è una funzione data a priori finita e continua in un rettangolo, avente i lati paralleli agli assi coordinati; e siano $a,b$, p. es., le coordinate di quel vertice, che ha la minima ascissa e la minima ordinata.

La nostra equazione si può scrivere:

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)=P(x,y)$

donde

${\frac {\partial z}{\partial y}}=\int _{a}^{x}P(x,y)dx+\gamma$,

dove $\gamma$ è una costante rispetto alla $x$, ed è quindi una qualsiasi funzione della $y$ (continua, perchè in questi studi ci occupiamo solamente di funzioni continue).

Sarà perciò:

               $z=\int _{b}^{y}\left[\int _{a}^{x}P(x,y)dx\right]dy+\varphi (y)+f(x)$          (1)

dove $\varphi (y)$ è l'integrale di $\gamma$; cioè, essendo $\gamma$ una funzione arbitraria, $\varphi (y)$ è una funzione arbitraria della $y$ (a derivata continua). Nella (1) compare anche $f(x)$, funzione arbitraria di $x$, perchè si è integrato rispetto a $y$, e quindi l'integrale resta determinato a meno d'una costante (rispetto ad $y$ che può essere una funzione affatto qualunque di $x$, ma che supporremo derivabile, volendo che esista $z'_{z}$.

Se nella (1) poniamo ora l'ipotesi che $P8x,y)$ sia costantemente zero, e quindi7

$\int _{b}^{y}dy\left[\int _{a}^{x}P(x,y)dx\right]=0$,

{{smaller|troviamo che la funzione più generale $z(x,y)$; che ha la derivata mista di secondo ordine uguale a zero, è somma di due funzioni, l'una di $x$ e l'altra di $y$ affatto arbitrarie (ma derivabili), e cioè

                              $z=\varphi (y)+f(x)$.                                                  (2) Si può verificare facilmente il nostro risultato derivando la $z-\varphi (y)+f(x)$ prima rispetto a $x$ e poi rispetto a $y$. Si avrebbe:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=f'(x)$;

e derivando quindi la $f'(x)$ rispetto a $y$ si ottiene lo zero.

Facciamo un cambiamento di variabili: poniamo cioè

                                        $u=x+y$,               $v=x-y$;

da cui

                                        $x={\frac {u+v}{2}}$      ,      $y={\frac {u-v}{2}}$.

La $z$ funzione di $x$ e $y$ può dunque considerarsi come funzione di $u$ e di $v$, e a loro volta funzioni di $x$ e $y$.

Derivando allora la $z$ rispetto alla $x$ tenendo $y$ costante, e applicando il teorema di derivazione di funzione di funzione, si ottiene

${\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {\partial z}{\partial u}}u'_{z}+{\frac {\partial z}{\partial v}}v'_{x}$;

ossia, essendo $u'_{x}=+1$ o $v'_{x}=+1$,

${\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {\partial z}{\partial u}}+{\frac {\partial z}{\partial v}}$.

Derivando rispetto alla $y$, si trova

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial u^{2}}}u'_{y}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial u\partial v}}v'_{y}\right)+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial v^{2}}}v'_{y}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial u\partial v}}u'_{y}\right)$.

Poichè $u'_{y}=1,v'_{y}=-1$, si trova

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial u^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial v^{2}}}$.

Cosicchè la (2), ove si ponga $z={\frac {u+v}{2}},y={\frac {u-v}{2}}$, dà tutte le funzioni che soddisfano alla:

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial u^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial v^{2}}}=0$:

risultato importante, perchè riceve applicazioni in molte questioni di fisica.

Oss. Scamiando gli assi delle $x$ e delle $y$ si trova che la (1) si può scrivere nella forma

$(x,y)=\int _{a}^{x}\left[\int _{b}^{y}P(x,y)dy\right]dx+f(x)+\varphi (y)$.

E se ne potrebbe dedurre che:

$\int _{a}^{x}\left[\int _{b}^{y}P(x,y)dy\right]dx=\int _{b}^{y}\left[\int _{a}^{x}P(x,Y)dx\right]dy$.

Questa formola sarà ritrovata in forma assai più generale in altro capitolo.

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