Lezioni di analisi matematica/Capitolo 14/Paragrafo 91

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 14 - Integrali curvilinei

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[p. 302 modifica]

§ 91. — Integrali curvilinei¹

I precedenti risultati appaiono incompleti. Infatti:

1° Perchè dare tanta importanza alla spezzata $ACB$ unente i punti $A,b$ piuttosto che a unìaltra curva congiungente i punti stessi? Già, scambiando nelle precedenti considerazioni le $x,y$ , giungeremmo a teoremi analoghi, in cui alla $ACB$ è sostituita un'altra spezzata $ADB$ , il cui primo lato $AD$ è parallelo all'asse delle $y$ , il secondo lato <math<DB</math> all'asse delle $x$ .

2° Il secondo membro di (6) ha un significato, anche se non è soddisfatta la $M'_{y}=N'_{x}$ . Quale ne è il senso in tali casi più generali?

Il modo migliore di dare un'esauriente risposta a tali domande è di porre la seguente definizione. Sia $AB$ a un arco $\Gamma$ di curva pensato descritto nel verso da $A$ a $B$ rappresentato dalle equazioni

$x=x(t)$ $y=y(t)$ per $\lambda \leq \,t\leq \,\mu$ , (1) [p. 303 modifica]dove $\lambda ,\mu$ sono i valori della $t$ corrispondenti ai punti $A,B$ di $\Gamma$ , e dove $x(t),y(t)$ sono finite e continue nell'intervallo $(\lambda ,\mu )$ , e la $x'(t),y'(t)$ sono continue od hanno un numero finito di punti di discontinuità (§ 78, pag. 261).

Noi chiameremo integrale i $Mdx+Ndy$ esteso a tale arco di curva lo:

$\int _{\lambda }^{\mu }\{M[x(t),y(t)]x'(t)+N[x(t),y(t)]y'(t)\}dt$ , (2)

il cui integrando si deduce da $Mdx+Ndy$ , sostituendovi alle $x,y,dx,dy$ i valori che deducono da (1). È così generalizzata nel modo più semplice la definizione sopra data di integrali estesi a segmenti.

È appena necessario avvertire che, essendo $dx,dy$ indipendenti dalla scelta della variabile indipendente, il valore di (2) non cambia se cambiano i lparametro $\mathrm {t}$ scelto per individuare i punti di $\mathrm {\Gamma }$ ; e ciò in virtù del teorema di integrazione per sostituzione (cfr. anche il penultimo capitolo del libro). Tale integrale dipende dunque soltanto dal differenziale $\mathrm {Mdx+Ndy}$ e dall'arco $\mathrm {\Gamma }$ dato a priori (e cambia di segno invertendo il verso in cui $\Gamma$ si immagina percorso, cioè scambiando i punti $A,B$ ).

Ci poniamo ora la seguente domanda fondamentale:

Che valore ha il nostro integrale, se esiste una funzione $\mathrm {f(x,y)}$ , il cui differenziale $\mathrm {df}$ è $\mathrm {M(x,y)dx+N(x,y)dy}$ ?

Evidentemente lungo $\Gamma$ la $f$ è funzione di $x,y$ entrambe funzioni della $t$ , e perciò la $f$ è una funzione di $t$ , la cui derivata vale

$M[x(t),y(t)]x'(t)+n[x(t),y(t)]yu'(t)$ , ²

perchè dalle

$f=f(x,y)$ ; $x=x(t)$ , $y=y(t)$

si deduce

${\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial x}}x'_{t}+{\frac {\partial f}{\partial y}}y'_{t}=Mx'_{t}+Ny'_{t}$ .

Quindi il nostro integrale (2) diventa

$\int _{\lambda }^{\mu }{\frac {df}{dt}}dt$ ,

[p. 304 modifica]ed è perciò uguale alla differenza dei valori che la $\mathrm {f(x,y)}$ assume negli estremi $\mathrm {B,A}$ dell'arco $\mathrm {\Gamma }$ di curva considerato.

Vale a dire tale integrale ha in tale ipotesi un valore che dipende soltanto dagli estremi $\mathrm {A,B}$ del nostro arco, e non varia quindi, se cambiano l'arco (1) che congiunge i punti $A,B$ , e gli sostituiamo p. es., come al § 90, la spezzata $ACB$ . Viceversa si può dimostrare (cfr. anche il penultimo cap. del libro):

Se questo integrale non dipende dalla particolare scelta dell'arco $\mathrm {AB}$ , ma soltanto dai suoi estremi $\mathrm {A,B}$ , esso definisce proprio il valore che nel punto $\mathrm {B}$ assume la funzione $\mathrm {f(x,y)}$ che è nulla nel punto $\mathrm {A}$ , e il cui differenziale vale $\mathrm {Mdx-Ndy}$ .

Infatti tenuto fisso il punto $A$ , e considerato il punto $B$ come variabile, tale integrale sarà una funzione $f$ delle coordinate $(x,y)$ di $B$ . Vogliamo provare che $f'_{x}=M$ e che $f'_{y}=N$ . Proviamo p. es. che $f'_{x}=M$ . Sia $B'$ il punto $(x+h,y)$ . Sarà

$f'_{x}(x,y)=\lim _{h=0}{\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}=$

$=\lim _{h=0}{\frac {\int _{A}^{B'}(Mdx+Ndy)-\int _{A}^{B}(Mdx+Ndy)}{h}}$ . (3)

Poichè tali integrali non dipendono dalla scelta delle linee $AB,AB'$ , potremo supporre che la linea $AB'$ risulti dalla linea $AB$ e dal segmento $BB'$ , lungo cui $dy=0$ .

La (3) diventerà

$f'_{x}(x,y)=\lim _{h=0}{\frac {\int _{B}^{B'}(Mdx+Ndy)}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}M(x,y)dx$

Ricordando che per il teorema della media

$\int _{x}^{x+h}M(x,y)dx=hM(x+\theta h,y)$ , ( $0<\theta <1$ )

e che $M$ è continua, avremo:

$f'_{x}=\lim _{x=0}M(x+\theta h,y)=M(x,y)$ . c.d.d.

Cosicchè il problema di riconoscere quando esiste una funzione $f(x,y)$ che abbia un dato differenziale $Mdx+Ndy$ , e quello di calcolare tale funzione, si riducono al problema di riconoscere quando l'integrale curvilineo di $Mdx+Ndy$ dipende [p. 305 modifica]soltanto dagli estremi della curva, a cui è estesa l'integrazione e non dalla curva scelta. Nel capitolo citato dimostreremo che ciò avviene in ogni campo $R$ ad un solo contorno (p. es. un campo circolare, o ellittico, e p. es. non una corona circolare), in cui $M,N,M'_{y},N'_{x}$ sieno finite e continue, e $M'_{y}=N'_{x}$ . Resterà così dimostrata non solo per i cambpi $\mathrm {R}$ del § 90, ma anche per questi campi più generali che nelle nostre ipotesi esiste una funzione $\mathrm {f(x,y)}$ tale che $\mathrm {df=Mdx+Ndy}$ . Nel capitolo citato troveremo anche gli stretti rapporti che passano tra le attuali proposizioni e le definizioni di potenziale di lavoro di una forza.

Note

↑ Il lettore può rinviare la lettura di questo § al momento in cui studierà la teoria generale delle funzioni additive e degli integrali multipli.
↑ La $M[x(t),y(t)]$ ed $N[x,(t),y(t)]$ sono i valori assunti delle $M,N$ nei punti del nostro arco $\Gamma$ Ammetto qui la continuità delle $x'(t),y'(t)$ . Il lettore potrà facilmente studiare le lievi modifica<ioni da apportarsi alla seguente dimostrazione nel caso che $x'(t),y'(t)$ abbiano qualche punto di discontinuità.

[1] Il lettore può rinviare la lettura di questo § al momento in cui studierà la teoria generale delle funzioni additive e degli integrali multipli.

[2] La $M[x(t),y(t)]$ ed $N[x,(t),y(t)]$ sono i valori assunti delle $M,N$ nei punti del nostro arco $\Gamma$ Ammetto qui la continuità delle $x'(t),y'(t)$ . Il lettore potrà facilmente studiare le lievi modifica<ioni da apportarsi alla seguente dimostrazione nel caso che $x'(t),y'(t)$ abbiano qualche punto di discontinuità.

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