Lezioni di analisi matematica/Capitolo 14/Paragrafo 91

Capitolo 14 - Integrali curvilinei

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§ 91. — Integrali curvilinei1

I precedenti risultati appaiono incompleti. Infatti:

1° Perchè dare tanta importanza alla spezzata unente i punti piuttosto che a unìaltra curva congiungente i punti stessi? Già, scambiando nelle precedenti considerazioni le , giungeremmo a teoremi analoghi, in cui alla è sostituita un'altra spezzata , il cui primo lato è parallelo all'asse delle , il secondo lato <math<DB</math> all'asse delle .

2° Il secondo membro di (6) ha un significato, anche se non è soddisfatta la . Quale ne è il senso in tali casi più generali?

Il modo migliore di dare un'esauriente risposta a tali domande è di porre la seguente definizione. Sia a un arco di curva pensato descritto nel verso da a rappresentato dalle equazioni

                          per ,          (1) [p. 303 modifica]dove sono i valori della corrispondenti ai punti di , e dove sono finite e continue nell'intervallo , e la sono continue od hanno un numero finito di punti di discontinuità (§ 78, pag. 261).

Noi chiameremo integrale i esteso a tale arco di curva lo:

           ,           (2)

il cui integrando si deduce da , sostituendovi alle i valori che deducono da (1). È così generalizzata nel modo più semplice la definizione sopra data di integrali estesi a segmenti.

È appena necessario avvertire che, essendo indipendenti dalla scelta della variabile indipendente, il valore di (2) non cambia se cambiano i lparametro scelto per individuare i punti di ; e ciò in virtù del teorema di integrazione per sostituzione (cfr. anche il penultimo capitolo del libro). Tale integrale dipende dunque soltanto dal differenziale e dall'arco dato a priori (e cambia di segno invertendo il verso in cui si immagina percorso, cioè scambiando i punti ).

Ci poniamo ora la seguente domanda fondamentale:

Che valore ha il nostro integrale, se esiste una funzione , il cui differenziale è ?

Evidentemente lungo la è funzione di entrambe funzioni della , e perciò la è una funzione di , la cui derivata vale

, 2

perchè dalle

; ,

si deduce

.

Quindi il nostro integrale (2) diventa

,

[p. 304 modifica]ed è perciò uguale alla differenza dei valori che la assume negli estremi dell'arco di curva considerato.

Vale a dire tale integrale ha in tale ipotesi un valore che dipende soltanto dagli estremi del nostro arco, e non varia quindi, se cambiano l'arco (1) che congiunge i punti , e gli sostituiamo p. es., come al § 90, la spezzata . Viceversa si può dimostrare (cfr. anche il penultimo cap. del libro):

Se questo integrale non dipende dalla particolare scelta dell'arco , ma soltanto dai suoi estremi , esso definisce proprio il valore che nel punto assume la funzione che è nulla nel punto , e il cui differenziale vale .

Infatti tenuto fisso il punto , e considerato il punto come variabile, tale integrale sarà una funzione delle coordinate di . Vogliamo provare che e che . Proviamo p. es. che . Sia il punto . Sarà

                    .          (3)

Poichè tali integrali non dipendono dalla scelta delle linee , potremo supporre che la linea risulti dalla linea e dal segmento , lungo cui .

La (3) diventerà

Ricordando che per il teorema della media

          ,           ()

e che è continua, avremo:

          .                    c.d.d.

Cosicchè il problema di riconoscere quando esiste una funzione che abbia un dato differenziale , e quello di calcolare tale funzione, si riducono al problema di riconoscere quando l'integrale curvilineo di dipende [p. 305 modifica]soltanto dagli estremi della curva, a cui è estesa l'integrazione e non dalla curva scelta. Nel capitolo citato dimostreremo che ciò avviene in ogni campo ad un solo contorno (p. es. un campo circolare, o ellittico, e p. es. non una corona circolare), in cui sieno finite e continue, e . Resterà così dimostrata non solo per i cambpi del § 90, ma anche per questi campi più generali che nelle nostre ipotesi esiste una funzione tale che . Nel capitolo citato troveremo anche gli stretti rapporti che passano tra le attuali proposizioni e le definizioni di potenziale di lavoro di una forza.

Note

  1. Il lettore può rinviare la lettura di questo § al momento in cui studierà la teoria generale delle funzioni additive e degli integrali multipli.
  2. La ed sono i valori assunti delle nei punti del nostro arco Ammetto qui la continuità delle . Il lettore potrà facilmente studiare le lievi modifica<ioni da apportarsi alla seguente dimostrazione nel caso che abbiano qualche punto di discontinuità.