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soltanto dagli estremi della curva, a cui è estesa l'integrazione e non dalla curva scelta. Nel capitolo citato dimostreremo che ciò avviene in ogni campo $R$ ad un solo contorno (p. es. un campo circolare, o ellittico, e p. es. non una corona circolare), in cui $M,N,M'_{y},N'_{x}$ sieno finite e continue, e $M'_{y}=N'_{x}$. Resterà così dimostrata non solo per i cambpi $\mathrm {R}$ del § 90, ma anche per questi campi più generali che nelle nostre ipotesi esiste una funzione $\mathrm {f(x,y)}$ tale che $\mathrm {df=Mdx+Ndy}$. Nel capitolo citato troveremo anche gli stretti rapporti che passano tra le attuali proposizioni e le definizioni di potenziale di lavoro di una forza.

§ 92. — Differenziali in tre variabili.

Il problema analogo per funzioni di tre variabili $x,y,z$ è quello di determinare una funzione $f(x,y,z)$, di cui sono prefissate le tre derivate prime $M=f'_{x},N=f'_{y},P=f'_{z}$, o in altre parole è prefissato il differenziale

$df=Mdx+Ndy+Pdz$

($M,N,P$ funzioni di $x,y,z$) Questo problema non è sempre risolubile; se supponiamo infatti che le derivate parziali del primo ordine delle $M,N,P$ esistano, siano finite e continue, esisteranno e saranno finite e continue le

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial M}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial x\partial z}}={\frac {\partial M}{\partial z}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$; ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial N}{\partial z}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial P}{\partial x}}$; ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}}={\frac {\partial P}{\partial y}}$.

Donde, per il teorema sull'invertibilità dell'ordine delle derivazioni, si trova che condizioni necessarie affinchè il nostro problema sia risolubile, o, come si suol dire, affinchè

$Mdx+Ndy+Pdz$

sia un differenziale esatto, sono le:

${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$; ${\frac {\partial M}{\partial z}}={\frac {\partial P}{\partial x}}$; ${\frac {\partial P}{\partial y}}$

20 — G. Fusini, Analisi matematica.