Lezioni di analisi matematica/Capitolo 14/Paragrafo 90

by Guido Fubini

Capitolo 14 - Differenziali esatti in due variabili

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 14 - Differenziali esatti in due variabili

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§ 90. — Differenziali esatti in due variabili.

$\alpha$) Il problema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni di una sola variabile consiste nel determinare una funzione, di cui è data la derivata $F(x)$ o, ciò che è lo stesso, il differenziale $F(x)dx$.

Il problema analogo per le funzioni di due variabili consiste nel determinare una funzione $f(x,y)$ di due variabili $x,y$, di cui sono date le due derivate parziali del primo ordine, ossia di trovare una funzione $f(x,y)$ soddiscafence alle:

               ${\frac {\partial f}{\partial x}}=M(x,y)$,          ${\frac {\partial f}{\partial y}}=N(x.y)$,          (1) o, ciò che è lo stesso, una funzione il cui differenziale $df$ è uguale a

                                                  $Mdx+Ndy$,                              (2)

dove $M,N$ sono funzioni prefissate. Abbiamo visto che il problema citato per le funzioni di una sola variabile è sempre risolubile se $F(x)$ è continua, p. es., nell'intervallo $x_{0}\leq \,x\leq \,b$; e che la $f$ è determinata a meno di una costante additiva $k$. Si può, p. es., porre

$f(x)=\int _{x_{0}}^{x}F(x)dx+k$,

dove $k$ è il valore (scelto ad arbitrio) di $f(x)$ oer $x=x_{0}$.

Nel caso delle funzioni di due variabili noi proveremo invece che non sempre esiste una funzione di due variabili noi proveremo invece che non sempre esiste una funzione $f(x,y)$ soddisfacente alle (1) (anche supposto che le $M,N$ siano continue insieme alle loro derivate), ossia che non sempre (2) è il diffrenziale di una funzione $f(x,y)$, o, come si suol dire più brevemente, che non sempre (2) è un differenziale esatto.

Se infatti le derivate prime delle $M,N$ sono cintinue, dalle (1) si deduce, derivando la prima rispetto ad $y$ e la seconda rispetto ad $x$, che:

                              ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial M}{\partial y}}$,          ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$.

Essendo, per ipotesi, i secondi membri funzioni continue, per il teorema (§ 80, pag. 271) dell'invertibilità dell'ordine delle derivazioni, essi sono uguali, cioè è

                                                  ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{partialx}}$.                              (3)

La (3) è dunque una condizione necessaria affinchè il sistema delle (1) sia risolubile, ossia affinchè (2) sia un differenziale esatto [sia il differenziale di una funzione $f(x,y)$], (naturalmente se $M,N,M'_{y},N'_{x}$ sono continue).

Dimostreremo vivecersa che in casi generalissimi tale condizione è anche sufficiente. Se la (3) è soddisfatta, anche nel caso attuale di funzioni $f(x,y)$ di due variabili, la $f(x,y)$ è determinata a meno di una costante additiva$k$: p. es., il valore della $f(x,y)$ in un punto $A=(x_{0},y_{0})$ prefissato.

$\mathrm {\beta }$) Cominceremo da un caso particolare: il caso cioè che le variabili sieno separate. Con questa frase si indica il caso che nella (2) la $M$ sia funzione della sola $x$, la $N$ funzione della sola $y$; in tal caso la (3) è evidentemente soddisfatta, perchè

${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}=0$.

Supponiamo $M(x)$ continua per $x_{0}\leq \,x\leq \,b$, ed $N(y)$ continua per $y_{0}\leq \,y\leq \,\beta$.

Sarà evidentemente:

$f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}M(x)dx+\int _{y_{0}}^{y}N(y)dy+k$.

Il primo addendo $\int _{x_{0}}^{x}M8x)dx$ è una funzione della sola $x$, la cui derivata rispetto ad $x$ vale $M(x)$ e la cui derivata rispetto ad $y$ è nulla. Il secondo addendo similmente è una funzione della sola $y$, la cui derivata rispetto ad $x$ è nulla, la cui derivata rispetto ad $y$ è $N(y)$. Il terzo addendo $k$ è una costante effettiva, le cui derivate sono entrambe nulle. Esso è il valore della $f(x,y)$ nel punto di ascissa $x_{0}$ e di ordinata $y_{0}$.

$\gamma$) Passiamo ora al caso generale. Vogliamo calcolare $f(x,y)$ nel punto $(x,y)$ supponendo che $M,N<math>ed<math>M'_{y}=N'_{x}$ siano finite e continue nei punti la cui ascissa è compresa tra $\mathrm {x_{0}}$ ed $\mathrm {x}$, e la cui ordinata è compresa tra $\mathrm {y_{0}}$ ed $\mathrm {y}$. Ciò naturalmente limita il campo ove facciamo variare il punto $(x,y)$ cioè il campo $\mathrm {R}$, ove dimostriamo il nostro teorema. Supporremo, p. es., senz'altro $R$ essere un rettangolo coi lati paralleli agli assi, e dento di esso supporremo cadere entrambi i punti $(x_{0},y_{0})$ ed $(x,y)$.

Poichè $f'_{y}=N$, sarà

                                        $f=\int _{y_{0}}^{y}N(x,y)dy+\varphi$,                     (4)

dove nell'eseguire l'integrazione la $x$ si considera come costante, e la $\varphi$ (la costante additiva) potrà quindi essere funzione della sola $x$ (com'è evidente, perchè $\varphi$ deve essere la funzione a cui si riduce la $f$ per $y=y_{0}$, cioè la $f(x,y_{0})$).

Dovremo poi determinare la $\varphi =\varphi (x)$ in guisa che la derivata rispetto ad $x$ della $f(x,y)$ definita da (4) valga $M$; che cioè

$M(x,y)=\left[\int _{y_{0}}^{y}N(x,y)dy+\varphi (x)\right]'_{x}=\varphi '(x)+\int _{y_{0}}^{y}N'_{x}(x,y)dy$

ossia che:

$\varphi '(x)=M(x,y)-\int _{y_{0}}^{y}N'_{x}(x,Y)dy$. (5)

Il secondo membro è finito e continuo. Sarà dunque necessario e sufficiente che esso sia funzione della sola $x$: in tal caso, con una integrazione si ricaverà il valore di $\varphi (x)$. La condizione necessaria e sufficiente per la risolubilità del nostro problema è che la derivata $M'_{y}-N'_{x}$ del secondo membro di (5) rispetto ad $y$ sia nulla; cioè la condizione, già trovata necessaria, è anche sufficiente. In tal caso la (5) dà

$\varphi (x)=\int _{x_{0}}^{x}\left\{M(x,y)-\int _{y_{0}}^{y}N'_{x}(x,y)dy\right\}dx+\varphi (x_{0})$

dove $\varphi (x_{0})$ è il valore di $\varphi (x)$ per $x=x_{0}$, cioè il valore di $f$ per $x=x_{0}$ ed $y=y_{0}$, cioè il valore $f(x_{0},y_{0})$ prefissaro ad arbitrio. E la (4) dà pertanto:

$f(x,y)=\int _{y_{0}}^{y}N(x,y)dy+\int _{x_{0}}^{x}\left\{M(x,y)-\int _{y_{0}}^{y}N'_{x}(x,y)\right\}dx+f(x_{0},y_{0})$.

Ricordando che nelle attuali ipotesi il secondo addendo, come già abbiamo osservato, è indipendente dalla $y$, possiamo per calcolarlo, supporvi $y=y_{0}$. Cosicchè tale formola diventa più semplicemente

$f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}M(x,y_{0})dx+\int _{y_{0}}^{y}N8x,y)dy+f(x_{0},y_{0})$ (6)

la quale dimostra il nostro teorema che nelle nostre ipotesi esiste una funzione $\mathrm {f}$, il cui differenziale è $\mathrm {[} {Mdx+Ndy}$, e ci insegna a calcolare tale funzione $\mathrm {f}$ nel campo $\mathrm {R}$ sopra definito.

La (6) si può ottenere direttamente nel seguente modo, se si ammette già provata la esistenza della $\mathrm {f}$; basta osservare che:

$f(x,y)-f(x_{,}y_{)}=[f(x,y)-f(x,y_{)}]+[f(x,y_{)}-f(x_{,}y_{)}]$

$=\int _{y_{0}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+\int _{x_{0}}^{x}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y=y_{0}}dx=$

$=\int _{y_{0}}^{y}N8x,y)dy+\int _{x_{0}}^{x}M(x,y_{0})dx$,

che coincide appunto con (6).

Indichiamo con $A,C,B$ i punti $(x_{0},y_{0}),(x,y_{0})$ ed $(x,y)$. La somma dei primi due addendi del secondo membro di (6) si chiamerù l'integrale di $Mdx+Ndy$ esteso alla spezzata $ACB$, od anche la somma dell'integrale di $Mdx+Ndy$ esteso ad $AC$ e dall'integrale analogo esteso a $CB$. Naturalmente bisogna definire il significato di quesste nuove frasi: integrale di $Mdx+Ndy$ esteso ad $AC$ od a $CB$. Noi intendiamo con l'integrale di $Mdx+Ndy$ esteso, p. es., ad $AC$ l'integrale dell'espressione che si deduce da $\mathrm {Mdx+Ndy}$ ponendo al psto della $\mathrm {y}$ e della $\mathrm {dy}$ i valori che si deducono dalla equazione $\mathrm {y=y_{0}=cost.}$ di $AC$, cioè $y=y_{0},dy=0$, ed estendendo l'integrazione dell'ascissa $x_{0}$ di $A$ dell'ascissa $x$ di $C$- Cioè l'integrale di $Mdx+Ndy$ esteso ad $AC$ vale il primo addendo del secondo membro di (6); mentre invece il secondo addendo si trova, con definizione analoga, uguale all'integrale di $Mdx+Ndy$ esteso a $CB$.

La (6) si può dunque interpretare così:

La differenza tra il valore $\mathrm {f}$ nel punto $\mathrm {(x,y)}$ ed il valore della $\mathrm {f}$ nel punto $\mathrm {(x_{0},y_{0})}$ vale l'integrale $\mathrm {df}$ esteso ad una spezzata di due lati paralleli agli assi coordinati congiungente il punto $\mathrm {x_{0},y_{0})}$ al punto $\mathrm {(x,y)}$ (se $f'_{x,f'_{y}}$ sono continue).

Questo teorema è la generalizzazione della formola

$\varphi (x)-\varphi (x_{0})=\int _{x_{0}}^{x}\varphi =\int _{x_{0}}^{x}\varphi '(x)dx$

valida per le funzioni $\mathrm {\varphi (x)}$ di una sola variabile (a derivata continua).