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capitolo xiv — § 90

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nella (2) la $M$ sia funzione della sola $x$, la $N$ funzione della sola $y$; in tal caso la (3) è evidentemente soddisfatta, perchè

${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}=0$.

Supponiamo $M(x)$ continua per $x_{0}\leq \,x\leq \,b$, ed $N(y)$ continua per $y_{0}\leq \,y\leq \,\beta$.

Sarà evidentemente:

$f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}M(x)dx+\int _{y_{0}}^{y}N(y)dy+k$.

Il primo addendo $\int _{x_{0}}^{x}M8x)dx$ è una funzione della sola $x$, la cui derivata rispetto ad $x$ vale $M(x)$ e la cui derivata rispetto ad $y$ è nulla. Il secondo addendo similmente è una funzione della sola $y$, la cui derivata rispetto ad $x$ è nulla, la cui derivata rispetto ad $y$ è $N(y)$. Il terzo addendo $k$ è una costante effettiva, le cui derivate sono entrambe nulle. Esso è il valore della $f(x,y)$ nel punto di ascissa $x_{0}$ e di ordinata $y_{0}$.

$\gamma$) Passiamo ora al caso generale. Vogliamo calcolare $f(x,y)$ nel punto $(x,y)$ supponendo che $M,N<math>ed<math>M'_{y}=N'_{x}$ siano finite e continue nei punti la cui ascissa è compresa tra $\mathrm {x_{0}}$ ed $\mathrm {x}$, e la cui ordinata è compresa tra $\mathrm {y_{0}}$ ed $\mathrm {y}$. Ciò naturalmente limita il campo ove facciamo variare il punto $(x,y)$ cioè il campo $\mathrm {R}$, ove dimostriamo il nostro teorema. Supporremo, p. es., senz'altro $R$ essere un rettangolo coi lati paralleli agli assi, e dento di esso supporremo cadere entrambi i punti $(x_{0},y_{0})$ ed $(x,y)$.

Poichè $f'_{y}=N$, sarà

                                        $f=\int _{y_{0}}^{y}N(x,y)dy+\varphi$,                     (4)

dove nell'eseguire l'integrazione la $x$ si considera come costante, e la $\varphi$ (la costante additiva) potrà quindi essere funzione della sola $x$ (com'è evidente, perchè $\varphi$ deve essere la funzione a cui si riduce la $f$ per $y=y_{0}$, cioè la $f(x,y_{0})$).

Dovremo poi determinare la $\varphi =\varphi (x)$ in guisa che la derivata rispetto ad $x$ della $f(x,y)$ definita da (4) valga $M$; che cioè

$M(x,y)=\left[\int _{y_{0}}^{y}N(x,y)dy+\varphi (x)\right]'_{x}=\varphi '(x)+\int _{y_{0}}^{y}N'_{x}(x,y)dy$