Lezioni di analisi matematica/Capitolo 14/Paragrafo 89

by Guido Fubini

Capitolo 14 - Derivazione sotto il segno d'integrale

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 89. — Derivazione sotto il segno d'integrale.

Supponiamo che $\alpha$ e $\beta$ siano costanti, e che siano continue tanto la $\mathrm {f(x,y)}$ quanto la $\mathrm {f'_{y}(x,y)}$. Noi diciamo che in tal caso la derivata di $\mathrm {\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx}$ rispetto ad $\mathrm {y}$ vale $\mathrm {\int ^{\beta }f'_{y}(x,Y)}$; che cioè la derivata del nostro integrale è uguale all'integrale della derivata che si ottiene per ciò derivando la funzione che compare sotto il segno di integrale.

Oss. Per la dim. completa basta ricordare che, essendo $f'_{y}$ continua, essa è anche uniformemente continua.

Qui consideriamo il solo caso che $|f''_{yy}$ sia nel campo considerato sempre minore di una costante $H$.

Noi dobbiamo calcolare:

$\left(\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx\right)_{y}=\lim _{h=0}{\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y+h)dx-\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx}{h}}=$

$=\lim _{h=0}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}dx$.

Per la formola di Taylor è

$f(x,y+h)-f(x,y)=hf'_{y}(x,y)+{\frac {h^{2}}{2}}f''_{yy}(x,y+\theta h)$

$(0<\theta <1)$.

Quindi

$\left(\int _{|alpha}^{\beta }f(x,y)dx\right)'_{y}=\lim _{h=0}\left[\int _{\alpha }^{\beta }\{f'_{y}(x,y)+{\frac {h}{2}}f''_{yy}(x,y+\theta h)\}dx\right]$

$=\int _{\alpha }^{\beta }f'_{y}(x,y)dx+\lim _{h=0}{\frac {h}{2}}\int _{\alpha }^{\beta }f''_{yy}(x,y+\theta h)dx$.

Poichè

$|f''_{yy}|<H$ e quindi $\left|\int _{\alpha }^{\beta }f''_{yy}(x,y+\theta h)dx\right|<\left|H\int _{\alpha }^{\beta }dx\right|=|H(\beta -\alpha )$,

sarà:

$\lim _{h=0}\left|{\frac {h}{2}}\int _{\alpha }^{\beta }f''_{yy}(x,y+\theta h)dx\right|=0$.

E la nostra formola diventa appunto:

          $\left(\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx\right)'_{y}=\int _{\alpha }^{\beta }f'_{y}(x,y)dx$                     ($\alpha ,\beta =$ cost.).

Generalizzazione.

Si può estendere la formola precedente al caso che $\alpha$ e $\beta$ siano funzioni della $y$, perchè $\alpha '_{y}$ e $\beta '_{y}$ esistono e siano finite.

Premetteremo alcune osservazioni.

Si voglia derivare rispetto al limite superiore $x$ l'integrale

                                                  $\int _{\alpha }^{x}\varphi (z)dz$           ($\alpha =$ cost.)

Ricordando che un integrale definito è indipendente dal nome della variabile di integrazione avremo:

$\left[\int _{\alpha }^{x}\varphi (z)9dz\right]'_{x}=\left[\int _{\alpha }^{x}\varphi (x)dx\right]'_{x}=\varphi (x)$;

cioè la derivata rispetto al limite superiore di un integrale di una funzione di una variabile è uguale alla funzione che è sotto il segno di integrale, dove al posto della variabile di integrazione si scriva il limite superiore.

Analogamente, dovendosi calcolare la

$\left[\int _{x}^{\alpha }\varphi (z)dz\right]'_{x}$,

potremo scrivere:

$\left[\int _{x}^{\alpha }\varphi (z)dz\right]'_{x}=\left[\int _{\alpha }^{x}\varphi (x)dx\right]'_{x}=-\varphi (x)$;

cioè la derivata rispetto al limite inferiore di un integrale di una funzione di una variabile è uguale alla funzione che è sotto il segno di integrale cambiata di segno, dove al posto della variabile di integrazione si scriva il limite inferiore.

Ci varremo di questi risultati per eseguire il calcolo della

$\left[\int _{\alpha }^{\backepsilon }f(x,y)dx\right]'_{y}$

Nello

$\int _{\alpha }^{\backepsilon }f(x,y)dx$

abbiamo supposto $x$ e $\beta$ dipendenti da $y$; indicheremo questo fatto sostituendo $z$ e $t$ (supposte funzioni di $y$) ai limiti di integrazione. Otterremo lo

$\int _{z}^{t}f(x,y)dx$

che indicheremo con $F$. Il nostro integrale allora che è funzione delle $y,z,t$, tutte funzioni di $y$, sarà funzione composta di $y$. Avremo dunque (§ 84, $\alpha$)

${\frac {dF}{dy}}=\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)_{z,t={\text{cost.}}}y'_{y}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)_{y,t={\text{cost.}}}z'_{y}+\left({\frac {\partial F}{\partial t}}\right)_{y,z={\text{cost.}}}t'_{y}$

Se però le $z,t$ fossero funzioni anche della $x$, questa formola si scriverebbe più correttamente nel modo seguente:

$\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)_{x={\text{cost.}}}=\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)_{x,z,t={\text{cost.}}}y'_{y}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)_{z,y,t={\text{cost.}}}z'_{y}+\left({\frac {\partial F}{\partial t}}\right)_{x,y,s={\text{cost.}}}t'_{y}$

Ora per trovare $\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)_{x,z,t={\text{cost.}}}$ si devono considerare $z,t$ come costanti, ossia come indipendenti dalla $y$. Questa derivata si calcola dunque col metodo svolto più sopra. Si ha cioè

$\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)_{x,z,t={\text{cost.}}}=\int _{x}^{t}f'_{y}(x,y)dx$.

Così sappiamo che, essendo $z$ il limite inferiore dell'integrale, è ${\frac {\partial F}{\partial z}}=-f(z,y)$; e che, essendo $t$ il limite superiore, ${\frac {\partial F}{\partial t}}=f(t,y)$. Essendo poi $y'_{y}=1$ dalle precedenti formole dedurremo infime, posto di nuovo $z=\alpha ,t=\beta$,

$\left[\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx\right]'_{y}=\int _{\alpha }^{\beta }f'_{y}(x,y)dx+f(\beta ,y)\beta '_{y}-f(\alpha ,y)\alpha '_{y}$

Anche qui è ammesso, p. es., che le $f,f'_{y},f''_{yy}$ sieno finite e conitnue.

Questa formola si riduce a quella trovata più supra, se $\alpha '_{y}=\beta '_{y}=0$, ossia se le $\alpha ,\beta$ sono indipendenti dalla $y$; ciò che era prevedibile a priori.