Lezioni di analisi matematica/Capitolo 14/Paragrafo 89

Capitolo 14 - Derivazione sotto il segno d'integrale

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§ 89. — Derivazione sotto il segno d'integrale.

Supponiamo che e siano costanti, e che siano continue tanto la quanto la . Noi diciamo che in tal caso la derivata di rispetto ad vale ; che cioè la derivata del nostro integrale è uguale all'integrale della derivata che si ottiene per ciò derivando la funzione che compare sotto il segno di integrale.

Oss. Per la dim. completa basta ricordare che, essendo continua, essa è anche uniformemente continua.

Qui consideriamo il solo caso che sia nel campo considerato sempre minore di una costante .

Noi dobbiamo calcolare:

.


Per la formola di Taylor è

.

[p. 297 modifica]Quindi

.

Poichè

e quindi ,

sarà:

.

E la nostra formola diventa appunto:

                               ( cost.).

Generalizzazione.

Si può estendere la formola precedente al caso che e siano funzioni della , perchè e esistono e siano finite.

Premetteremo alcune osservazioni.

Si voglia derivare rispetto al limite superiore l'integrale

                                                             ( cost.)

Ricordando che un integrale definito è indipendente dal nome della variabile di integrazione avremo:

;

cioè la derivata rispetto al limite superiore di un integrale di una funzione di una variabile è uguale alla funzione che è sotto il segno di integrale, dove al posto della variabile di integrazione si scriva il limite superiore.

Analogamente, dovendosi calcolare la

,

potremo scrivere:

;

cioè la derivata rispetto al limite inferiore di un integrale di una funzione di una variabile è uguale alla funzione che è sotto il segno di integrale cambiata di segno, dove al posto della variabile di integrazione si scriva il limite inferiore.

Ci varremo di questi risultati per eseguire il calcolo della

[p. 298 modifica]Nello

abbiamo supposto e dipendenti da ; indicheremo questo fatto sostituendo e (supposte funzioni di ) ai limiti di integrazione. Otterremo lo

che indicheremo con . Il nostro integrale allora che è funzione delle , tutte funzioni di , sarà funzione composta di . Avremo dunque (§ 84, )

Se però le fossero funzioni anche della , questa formola si scriverebbe più correttamente nel modo seguente:

Ora per trovare si devono considerare come costanti, ossia come indipendenti dalla . Questa derivata si calcola dunque col metodo svolto più sopra. Si ha cioè

.

Così sappiamo che, essendo il limite inferiore dell'integrale, è ; e che, essendo il limite superiore, . Essendo poi dalle precedenti formole dedurremo infime, posto di nuovo ,

Anche qui è ammesso, p. es., che le sieno finite e conitnue.

Questa formola si riduce a quella trovata più supra, se , ossia se le sono indipendenti dalla ; ciò che era prevedibile a priori.