Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 86

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 13 - Formola di Taylor-Lagrange per le funzioni di due variabili

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§ 86. — Formola di Taylor-Lagrange
per le funzioni di due variabili.

Ricordiamo le formole di Taylor-Lagrange per le funzioni di una sola variabile

$\varphi (\alpha +h)=\varphi (\alpha )+h\varphi (\alpha +\theta h)=\varphi (\alpha )+h\varphi '(\alpha )+$

$+{\frac {h^{2}}{\lfloor {2}}}\varphi ''(\alpha +\theta h)$ ,

dove $0<\theta <1$ , e $\theta$ può variare dal secondo al terzo membro. Vogliamo estendere queste formole al caso di na funzione $f(x,y)$ di due variabili. Consideriamo a tale oggetto la $f(a+ht,b+kt)$ ; la quale, se $a$ e $b$ , $h$ e $k$ si considerano come costanti, è una funzione $\varphi (t)$ della sola $t$ . Potremo quindi scrivere

$\varphi (t)=f(a+ht,b+kt)$ . (1)

Posto successivamente $t=0$ e $t=1$ , si trae

$\varphi (0)=f(a,b)$ $\varphi (1)=f(a+h,b+k)$ . (1)^bis

Applicheremo alla $\varphi (t)$ la precedente formola di Taylor, la quale, posto¹ $\alpha =0,h=1$ , diventa:

$\varphi (1)=\varphi (0)+\varphi '(\theta )=\varphi (0)+\varphi '(0)+{\frac {1}{2}}\varphi ''(\theta )$ . (2)

[p. 291 modifica]Vogliamo ora trasformare queste formole in altre, in cui compaiono esclusivamente la $f(x,y)$ e le sue derivate. A tal fine si osservi che le successive derivate della $\varphi (t)$ si calcolano coi metodi del § 83, $\delta$ , pag. 278, dove è posto $x=a+ht,y=b+kt$ . Ricordando poi che il porre $t=0$ equivale a porre $x=a,y=b$ e che il porre $t=\theta$ equivale a scrivere $a+h\theta$ e $b+k\theta$ al posto di $x,y$ , si ottiene da (2) in virtù delle (1), (1)^bis:

$f(a+h,b+k)=f(a,b)+\left[h{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}+k{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y)}}\right]_{x=a+h\theta y=b+k\theta }=$

$=f(a,b(+[hf'_{x}(a,b)+kf'_{y}(a,b)]+$

$+{\frac {1}{2}}\left[h^{2}{\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}+2\,hk{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}+k^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right]_{x=a+h\theta \,y=b+k\theta }$

( $0<\theta <1$ ) $\theta$ varia generalmente dal secondo al terzo membro.

La prima di queste uguaglianze è un'altra forma del teorema della media. Ma mentre la formola del § 81 è ottenuta passando dal punto $(x,y)$ al punto $(x+h,y+k)$ mediante una spezzata coi lati paralleli agli assi (e senza supporre la continuità delle $f'_{x},f'_{y}$ ), questa è ottenuta eseguendo tale passaggio con un segmento rettilineo (e supponendo $f'_{x},f'_{y}$ continue).

Utile esercizio sarà di generalizzare in modo analogo le precedenti formole sia a funzioni di più che due variabili, sia alla formola e alla serie di Taylor, quando non ci si fermi già ai termini contenenti derivate seconde.

Note

↑ È necessario supporre, a tal fine che i punti di coordinate $x=a+ht<math>e$ y=b+kt</math> siano, per $0\leq \,t\leq \,1$ , tutti interni al campo ove sono definite la $f$ e le sue derivate. Tali punti non sono che i punti del segmento rettilineo congiungente il punto $(a,b)$ al punto $(a+h,b+k)$ .

[1] È necessario supporre, a tal fine che i punti di coordinate $x=a+ht<math>e$ y=b+kt</math> siano, per $0\leq \,t\leq \,1$ , tutti interni al campo ove sono definite la $f$ e le sue derivate. Tali punti non sono che i punti del segmento rettilineo congiungente il punto $(a,b)$ al punto $(a+h,b+k)$ .

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