Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 86

Capitolo 13 - Formola di Taylor-Lagrange per le funzioni di due variabili

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Capitolo 13 - Formola di Taylor-Lagrange per le funzioni di due variabili
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§ 86. — Formola di Taylor-Lagrange
per le funzioni di due variabili.

Ricordiamo le formole di Taylor-Lagrange per le funzioni di una sola variabile

,

dove , e può variare dal secondo al terzo membro. Vogliamo estendere queste formole al caso di na funzione di due variabili. Consideriamo a tale oggetto la ; la quale, se e , e si considerano come costanti, è una funzione della sola . Potremo quindi scrivere

                                   .                    (1)

Posto successivamente e , si trae

                    .          (1)bis

Applicheremo alla la precedente formola di Taylor, la quale, posto1 , diventa:

. (2)

[p. 291 modifica]Vogliamo ora trasformare queste formole in altre, in cui compaiono esclusivamente la e le sue derivate. A tal fine si osservi che le successive derivate della si calcolano coi metodi del § 83, , pag. 278, dove è posto . Ricordando poi che il porre equivale a porre e che il porre equivale a scrivere e al posto di , si ottiene da (2) in virtù delle (1), (1)bis:

() varia generalmente dal secondo al terzo membro.

La prima di queste uguaglianze è un'altra forma del teorema della media. Ma mentre la formola del § 81 è ottenuta passando dal punto al punto mediante una spezzata coi lati paralleli agli assi (e senza supporre la continuità delle ), questa è ottenuta eseguendo tale passaggio con un segmento rettilineo (e supponendo continue).

Utile esercizio sarà di generalizzare in modo analogo le precedenti formole sia a funzioni di più che due variabili, sia alla formola e alla serie di Taylor, quando non ci si fermi già ai termini contenenti derivate seconde.

Note

  1. È necessario supporre, a tal fine che i punti di coordinate y=b+kt</math> siano, per , tutti interni al campo ove sono definite la e le sue derivate. Tali punti non sono che i punti del segmento rettilineo congiungente il punto al punto .