Supponiamo che esista una funzione continua che soddisfi identicamente alla (1), ossia che, sostituita in (1), dia origine a una funzione nulla per tutti i valori delle , che noi consideriamo. [p. 286modifica]Dal § 84, , segue facilmente che esiste una tale funzione (e che noi la sappiamo anzi dare sotto forma di serie) se la (1) è soddisfatta per
{{centrato|
e se in un intorno di tale punto le derivate prime di sono finite e continue, e è differenze da zero.
La è una funzione definita da (1) in modo implicito; e noi ci proponiamo di calcolarne le derivate, senza scriverla sotto forma esplicita (senza risolvere la (1)).
Per trovare la derivata parziale, bisogna considerare la come una costante, per cui la si potrà considerare come una funzione della sola , e la come un'equazione tra le sole variabili . Applicando i risultati precedenti si troverà quindi senz'altro .
Analogamente .
) Si abbiano ora due equazioni in tre variabili
,
.
Supponiamo che abbiano derivate prime finite e continue, che le equazioni siano soddisfatte per
{{centrato|,
e che nel punto sia
.
Almeno uno degli elementi di questo determinante sarà differente da zero. Se, p. es., in , dalla potrò ottenere, risolvendo, , dove la è una funzione derivabile che diventa uguale a per . Sostituendo nella si trova:
(2)
La derivata del primo membro rispetto a è:
,
[p. 287modifica]che è differente da zero per . Se ne ricaverà che dalla (2) si potrà dedurre, risolvendo, come funzione della derivabile ed ugualle a per .
Sostituendo questo valore i , se ne deduce il valore di come funzione derivabile della , che per si riduce ad
Esistono cioè due funzioni derivabili, soddisfacenti alle equazioni date e che, per , diventando rispettivamente uguali ad e .
Ciò che si poteva del resto dimostrare, estendendo ai sistemi di equazioni il metodo con cui abbiamo studiato il caso di una equazione sola. E vale anche il teorema di unicità, che cioè in un intorno di non esistono altre funzioni soddisfacenti alle proprietà enunciate. Il calcolo di , si effettua nel modo più rapido osservando che, se nelle sostituiamo al posto di ed i loro valori in funzione della , otteniamo due funzioni e della sola identicamente nulle, le cui derivate (totali) rispetto alla saranno quindi anch'esse nulle. Quindi, derivando
e
rispetto alla , quando vi si considerino e come funzioni della ed applicando quindi il teorema del ù 84, , ottiene:
,
.
Queste due uguaglianze si possono considerare come due equazioni di primo grado nelle , che saranno risolvibili con la regola di Kramer, se, come abbiamo supposto,
;
e di determineranno in tal caso le derivate cercate.
) Si abbia ora il sistema delle due equazioni
,
.
[p. 288modifica]E supponiamo senz'altro che esistano due funzioni derivabili che soddisfano a tali equazioni.
Vogliamo determinare le derivate. Se noi sostituiamo nelle due equazioni precedenti al posto delle , rispettivamente le funzioni si ottengono due funzioni di e di : e identicamente nulle. Le loro derivate partiali tanto rapporto a quanto rapporto a saranno quindi nulle. Se allora deriviamo la rapporto a considerandola come funzione della tutte e tre funzioni della questa derivata che, per non creare equivoci, dovremo indicare col simbolo1
per il teorema di derivazione delle funzioni di funzioni (funzioni composte) è:
Ma questa derivata, per quanto abbiamo osservato, è nulla.
Sarà quindi (poichè ):
.
Ragionando sulla funzione si otterrebbe analogamente:
.
Quest'ultima equazione con la precedente costituisce un sistema di due equazioni lineari nelle due incognite e che sono appunto (essendosi considerato costante) rispettivamente le derivate parziali rispetto a di e . [p. 289modifica]Il sistema è risolvibile con la regola di Kramer e quindi ammetterà una sola soluzione se:
.
Ragionamenti e risultati analoghi valgono per . Questo esempio di derivazione è interessante, perchè abbiamo avuto occasione di osservare quale complicazione di notazioni s'abbia quando, per non creare equivoci che potrebbero condurre a gravi errori, si vuole un simbolo di derivazione parziale che dica esplicitamente tutto e non possa prestarsi a varie interpretazioni.
L'allievo farà un'utile esercitazione, cercando di calcolare le derivate seconde.
) Siano e due funzioni continue con le loro prime derivate in un campo , nel quale esista una curva luogo dei punti per cui
(3)
Voglio trovare qualche condizione necessaria affinchè il valore assunto dalla in un punto di sia massimo o minimo rispetto agli altri valori assunti dalla in (in un intorno di ). Più brevemente cerco i massimi ed i minimi di , quando le sono legate alla (3). Lungo si può considerare la come una funzione della <ath>x</math> soddisfacente alla (se ); e la si potrà perciò anche considerare come una funzione della sola .
In uno dei punti cercati dovrà dunque esser nulla la derivata totale della rispetto alla
.
Dovrà dunque essere in
,
ossia dovranno essere in compatibili le equazioni dell'incognita (che supponiamo essere una costante)
,
.
[p. 290modifica]Ad identico risultato si giunge se . Se dunque in non è mai contemporaneamente , allora per trovare i cercati punti si cercano i punti ove sono nulle le derivate prime di rispetto a : si procede cioè come se si cercassero i massimi e i minimidi . le tre equazioni
.
sono tre equazioni nelle tre incognite (la costante e le due coordinate , che servono a determinarci quei punti di , tra i quali soltanto si dovranno poi cercare i nostri punti di massimo o di minimo.
Questo metodo del moltiplicatore indeterminato è suscettibile di molte e svariate generalizzazioni e applicazioni.
Note
↑Questa derivata è una derivata partiale, perchè si considera costante; ma non si può indicare con .
Con tale simbolo di indica ; si indica cioè la derivata che si ottiene considerando costante non solo la , ma anche le .