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calcolo differenziale per le funzioni, ecc. |
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Vogliamo ora trasformare queste formole in altre, in cui compaiono esclusivamente la
e le sue derivate. A tal fine si osservi che le successive derivate della
si calcolano coi metodi del § 83,
, pag. 278, dove è posto
. Ricordando poi che il porre
equivale a porre
e che il porre
equivale a scrivere
e
al posto di
, si ottiene da (2) in virtù delle (1), (1)bis:
(
)
varia generalmente dal secondo al terzo membro.
La prima di queste uguaglianze è un'altra forma del teorema della media. Ma mentre la formola del § 81 è ottenuta passando dal punto
al punto
mediante una spezzata coi lati paralleli agli assi (e senza supporre la continuità delle
), questa è ottenuta eseguendo tale passaggio con un segmento rettilineo (e supponendo
continue).
Utile esercizio sarà di generalizzare in modo analogo le precedenti formole sia a funzioni di più che due variabili, sia alla formola e alla serie di Taylor, quando non ci si fermi già ai termini contenenti derivate seconde.
§ 87. — Massimi e minimi delle funzioni di due o più variabili.
) Lemma. Un trinomio omogeneo di 2° grado di due variabili
mai contemporeaneamente nulle
è sempre differente da zero ed ha costantemente il segno di
, o, ciò che è lo stesso, quello di
, se
.
Può invece assumere valori di segno arbitrario se
; ed infine, se il trinomio non è identicamente nullo, esso ha costantemente il segno di
o di
, ma può annullarsi, quando
Infatti, se
e
allora
e al trinomio, che vale
può farsi assumere un segno qualunque, scegliendo per
, valori di rango opportuno.