§ 87. — Massimi e minimi delle funzioni di due o più variabili.
) Lemma. Un trinomio omogeneo di 2° grado di due variabili maicontemporeaneamente nulle
è sempre differente da zero ed ha costantemente il segno di , o, ciò che è lo stesso, quello di , se .Può invece assumere valori di segno arbitrario se ; ed infine, se il trinomio non è identicamente nullo, esso ha costantemente il segno di o di , ma può annullarsi, quando
Infatti, se e allora e al trinomio, che vale può farsi assumere un segno qualunque, scegliendo per , valori di rango opportuno.[p. 292modifica]Se invece p. es. , allora, se sono le radici di , il nostro trinomio vale identicamente . Se allora e quindi il trinomio vale il prodotto di per un quadrato perfetto, ha quindi il segno di , a meno che , nel qual caso il trinomio si annulla. Se . e quindi sono numeri reali distinti (p, es, ), allora è positivo se è minore di , ed è negativo è compreso tra e . Il trinomio può dunque assumere un valore di segno arbitrario.
Infine se [e perciò e quindi e differenti da zero e dello stesso segno] le radici della sono numeri complessi coniugati con . Ora il nostro trinomio è uguale identicamente al prodotto di per
,
che è sempre positivo (e che potrebbe essere nullo soltanto se : ossia, essendo , soltanto se : valori che abbiamo escluso). Quindi il nostro trinomio ha il segno di . Ciò che si può verificare osservando anche che:
.
) Si suol dire che una funzione di due variabili ha in un punto interno al campo ove è definita, un massimo od un minimo (relativo) se esiste un intorno di , nei punti del quale la funzione assume rispettivamente valori tutti non maggiori, o tutti non minori che nel punto (cfr. la defin. analoga di pag. 223). Se () sono le coordinate di , dovrà cioè esistere un numer opositivo , tale che per sia rispettivamente
(se è un massimo),
(se è un minimo)
In tal caso la funzione che si ottiene ponendo ha un massimo od un minimo per , e quindi, se possiede derivata prima finita e determinata, questa derivata è nulla (§ 70, pag. 226) nel punto . Risultato analogo si prova per .
Condizioni necessarie (ma non sufficienti) affinchè abbia nel punto interno al campo ove la ha derivate prime determinate e finite, abbia un massimo o un minimo è che ivi queste derivate ed siano nulle.[p. 293modifica]
Le condizioni necessarie si possono meglio studiare così: Su ogni retta
( cost.)
uscente dal punto cioè dal punto , la funzione ha nelle nostre ipotesi un massimo o un minimo per .
[Viceversa non si può dire che, se è punto di massimo o di massimo su ogni retta uscente da , esso sia un punto di massimo o di minimo, come si vede con metodo analogo a quello svolto al § 80, a, pagina 268].
Cioè ha un massimo o un minimo per . Se dunque ha derivate prime e seconde finite e continue, sarà per e per valori qualsiasi (non nulli contemporaneamente) di :
(se si tratta di punto massimo)
(se si tratta di punto minimo).
Ora, affinchè , qualunque siano non contemporaneamente nulle dovrà essere. Affinchè abbia segno costante, qualunque siano dovrà essere nel punto . Queste sono dunque altre condizioni necessarie, affinchè la abbia nel punto un massimo o un minimo, almeno se le derivate prime e seconde di sono continue. Noi proveremo che:
Condizioni sufficienti sono le:
; ; finite e continue (nel punto). (Si noti che è condizione necessaria, mentre è condizione sufficiente).
E, se tali condizioni sufficienti sono soddisfatte, il punto è punto di massimo se sono nel punto considerato negative; esso è un punto di minimo, se sono positive. (Dalla segue che hanno lo stesso segno). Infatti, supposto che in sia , la formola di Taylor-Lagrange dà
(1)
ove il soprassegno indica che le derivate seconde sono calcolare in un punto con .
Ora, essendo tali derivate seconde continue, basterà scegliere abbastanza piccolo perchè abbia il segno di e abbia il segno di cioè sia positivo. Il trinomio posto al 2° membro di (1), e quindi anche [p. 294modifica]il primo membro di (1), avranno pertanto (confronta il lemma) il segno di , cioè di , come dovevasi dimostrare.
Se , ma , il punto considerato non è di massimo nè di minimo.
Nulla si può affermare senza studii più minuti per un punto, in cui .
Il teorema relativo alle condizioni sufficienti si dimostra anche osservando che (1) si può scrivere nella forma
,
ove tendono a zero per . Posto , il secondo membro diventa la somma di
(2)
.
Il coefficiente di nel primo addendo ha il segno di e il suo minimo valore assoluto è maggiore di zero. Il coefficiente di nel secondo membro è invece infinitesimo (per ). Dunque per abbastanza piccoli la (2) ha il segno del primo addendo, cioè ha il segno di .