Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/304

288

capitlo xiii — § 85

---

E supponiamo senz'altro che esistano due funzioni derivabili $z=\varphi (x,y),t=\Phi (x,y)$ che soddisfano a tali equazioni.

Vogliamo determinare le derivate. Se noi sostituiamo nelle due equazioni precedenti al posto delle $z,t$, rispettivamente le funzioni $z=\varphi (x,y),t=\Phi (x,y)$ si ottengono due funzioni di $x$ e di $y$: $f(x,y,\varphi ,\Phi )$ e $F(x,y,\varphi ,\Phi )$ identicamente nulle. Le loro derivate partiali tanto rapporto a $x$ quanto rapporto a $y$ saranno quindi nulle. Se allora deriviamo la $f(x,y,z,t)$ rapporto a $x$ considerandola come funzione della $x,z,t$ tutte e tre funzioni della $x$ questa derivata che, per non creare equivoci, dovremo indicare col simbolo¹

$\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\right]_{y={\text{cost.}}z=\varphi t=\Phi }$

per il teorema di derivazione delle funzioni di funzioni (funzioni composte) è:

$\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\right]_{y={\text{cost.}}\,z=\varphi \,t=\Phi }=\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\right]_{y,z,t={\text{cost.}}}x'_{x}+\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{x,y,t={\text{cost.}}}z'_{x}+\left[{\frac {\partial f}{\partial t}}\right]_{x,y,z={\text{cost.}}}t'_{x}$

Ma questa derivata, per quanto abbiamo osservato, è nulla.

Sarà quindi (poichè $x'_{x}=1$):

$\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\right]_{y,z,t={\text{cost.}}}+\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{x,y,t={\text{cost.}}}x'_{x}+\left[{\frac {\partial f}{\partial t}}\right]_{x,y,z={\text{cost.}}}t'_{x}=0$.

Ragionando sulla funzione $F(x,y,z,t)$ si otterrebbe analogamente:

$\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}\right]_{y,z,t={\text{cost.}}}+\left[{\frac {\partial F}{\partial z}}\right]_{x,y,t={\text{cost.}}}z'_{x}+\left[{\frac {\partial F}{\partial t}}\right]_{x,y,z={\text{cost.}}}t'_{x}=0$.

Quest'ultima equazione con la precedente costituisce un sistema di due equazioni lineari nelle due incognite $z:x$ e $t_{x}$ che sono appunto (essendosi considerato $y$ costante) rispettivamente le derivate parziali rispetto a $x$ di $\varphi (x,y)$ e $\Phi (x,y)$.

1. Questa derivata è una derivata partiale, perchè $y$ si considera costante; ma non si può indicare con ${\frac {\partial f}{\partial x}}$. Con tale simbolo di indica $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z,t={\text{cost.}}}$; si indica cioè la derivata che si ottiene considerando costante non solo la $y$, ma anche le $z,t$.