Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 80

by Guido Fubini

Capitolo 13 - Continuità. Derivate parziali

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 13 - Continuità. Derivate parziali

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§ 80. — Continuità. Derivate parziali.

$\alpha$) Al § 41, pag. 137, abbiamo già visto che alle funzioni di più variabili si può estendere sia la definiz. di limite, che quella di continuità, ecc. VOgliamo qui aggiungere un'osservazione, che per maggior chiarezza esporremo per una funzione di due sole variabili $f(x\mathrm {,} y)$. Sia essa definita in un intorno $j$ del punto $x=a$, $y=b$; e siano $x=a+ht$, $y=b+kt$($h\mathrm {,} k$ cost.) le equazioni parametriche di una rotta generica $r$ uscente da tale punto. La $f$ diventerà funzione del suo parametro $t$, se ci limitiamo a considerare i punti di $r$ interni ad $j$, e i valori ivi assunti da $f$. Questa funzione di $\mathrm {t}$ sarà continua per $\mathrm {t=0}$ (qualunque siano $h$, $k$, cioè qualunque sia la $r$ considerata uscente dal punto [($a$, $b$]) se la $\mathrm {f(x,y)}$ è continua nel punto $\mathrm {(a,b)}$.

Il teorema reciproco non è vero, cioè: Se $\mathrm {f(a+ht,b+kt)}$ è funzione continua per $\mathrm {t=0}$, qualunque siano $\mathrm {h,k}$, la $\mathrm {f(x,y)}$ può non essere continua nel punto <mayt>\mathrm(a, b)}</math>. Infatti da tale ipotesi segue che, scelto un $\mathrm {\epsilon >0}$ arbitrario, su ogni retta $r$ uscente da $8a$, $b)$ esiste un intorno $R$, tale che per i punti ($x$, $y$) di questo intorno vale la $|f(x,y)-f(a,b)|<\epsilon$. Ma al variare di $r$, può variare la lunghezza di questi intorno $R$; se anzi questa lunghezza ha limite inferiore nullo, tutti questi intorni (uno su ogni retta uscente dal punto [$a$, $b$]) non riempiono alcun inotno $j$ nel punto $(a$, $b$) nel piano; cioè non esiste alcun numero $\delta >0$ tale che ogni punto soddisfacente alle $|x-a|<\delta$, $|y-b|<\delta$ appartenga ad almeno uno di questi intorni $R$.

Sia $f(x$, $y$, $z$, ..... , $t)$ una funzione di più variabili $x$, $y$, $z$, ..... , $t$. Se diamo alla $y$, $z$, ....., $t$ valori determinabili $b$, $c$ ....., $d$, la $f$ si ridurrà una funzione della sola $x$- Se tale funzione è derivaile (rispetto alla $x$) nel punto $x=a$, no ichiameremo tale derivata la derivata parziale di $f$ rispetto alla $x$ nel punto $x=a$, $y=b$, ....., $t=d$; e la indicheremo con $f'_{m}(a$, $b$, ....., $d)$ o con $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{x=a,y=b,.....,t=d}$. Se poi questa derivata esiste non solo in punto, ma in tutto il campo ottenuto, p. es., facendo variare math>x, y, ....., t</math> in certi intervalli, questa derivata sarà una funzione dele <math<x, y, ....., t</math> in tali intervalli; e si indicherà più semplicemente con $f'_{x}$ o con ${\frac {\partial f}{\partial x}}$. E, se si vuol ricordare, come talvolta è opportuno, che per calcolare tale derivata si è cominciato col dare alle $y,z,.....,t$ valori determinati, si suol indicare tale derivata col simbolo:

          $(f'_{x})_{y,z,.....,t={\text{cost.}}}$          o          $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z,.....\,,\,t\,=\,{\text{cost.}}}$.

È ancora da ricordare che nei casi più comuni si può calcolare $f'_{x}$ in un dato punto, derivando la $f$ rispetto alla $x$ e considerando $y,z,.....,t$ come costanti, e, soltanto dopo aver eseguito la derivazione, sostituire alle $x,y,z,.....,t$ le coordinate del punto che si considera.

Altrettanto dicasi per le derivate parziali della $f$ rispetto alla $y$, a alla $z$, ....., od alla $t$.

Queste derivata $f'_{x},f'_{y}$..... possono a loro volta essere funzioni derivabili e possedere derivate parziali. E noi con

$f''_{xx}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}$, $f''_{xy}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}$, $f''_{xx}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}}$, .....

indicheremo rispettivamente le derivate di $f'_{x}$ rispetto $x,y,z$, ecc.

Con

$f''_{yx}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$, $f''_{yy}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$, ecc.

indichiamo le derivata di $f'_{y}$ rispetto $x,y,$ ecc.

Queste nuove derivate si diranno derivate parziali (del secondo ordine) della $f$.

Le derivata di queste, se esistono, si diranno derivate parziali del terz'ordine e così via. Così, p. es.:

$f_{xy\,xzy}^{(5)}={\frac {\partial ^{5}f}{\partial x\,\partial y\,\partial x\,\partial z\,\partial y}}$

sarà quella derivata del 5° ordine che si ottiene derivando $f$ rispetto alla $x$, la derivata $f'_{x}$ così ottenuta rispetto alla $y$, la derivata $f''_{xy}$ così ottenuta rispetto alla $x$, la $f'''_{zyx}$ così calcolata rispetto alla $z$, e infine la $f''''_{xyxz}$ così ottenuta rispetto alla $y$.

Così, p. es., se

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+2\,yz+3\,zx$,

per ottenere $f'_{x}$ si deve derivare rispetto alla $x$ considerando le $y,z$ come costanti (espressioni aventi derivata nulla rispetto alla $x$). Si ha così che $y^{2},z^{2},yz$ hanno derivata nulla, $xy$ ha per derivata $y$, ecc; cosicchè:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=2x+y+3z$.

Analogamente si troverebbe:

${\frac {\partial f}{\partial y}}=f'_{y}=2y+x+2z$,

${\frac {\partial f}{\partial z}}=f'_{z}=2z+2y+3x$.

Ciascuna di queste tre derivate è a sua volta una funzione delle $x,y,z$ che si può derivare rispetto alla $x$, o alla $y$, o alla $z$. Si hanno così $3.\,3=9$ derivate del secondo ordine della

$f(x,y,z)$.

Così, p. es., derivando ${\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}$ rispetto alla $x$, o alla $y$, o alla $z$, si ottengono le tre derivate che indichiamo rispettivamente con

${\frac {\partial ^{f}}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}$, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=f''_{xy}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}}=f''_{xz}$;

e che, nel nostro caso, sono ordinatamente uguali a $2$, $1$, $3$</math>. In modo simile si trovano le altre 6 derivate del 2° ordine

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f''_{yz}$, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f''_{yy}$, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}=f''_{yz}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial x}}=f''_{zx}$, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial y}}=f''_{zy}$, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=f''_{zz}$.

Dalle derivate di second'ordine si giunge facilmente alle derivate di terz'ordine e di ordine superiore mediante nuove derivazioni rispetto alle variabili $x$, $y$, $z$; tutte queste derivate sono nell'esempio precedente uguali a zero.

$\beta$) Non tutte le derivate successive definite in $\alpha$) sono però distinte, almeno finchè restiamo nel caso più comune ed importanti di funzioni aventi finite e continue tutte le derivate che consideriamo e finchè consideriamo soltanto punti interni alla regione, ove sono soddisfatte queste condizioni. Noi dimostreremo infatti che per tali funzioni l'ordine in cui più derivazioni si eseguono non ha alcuna influenza sul risultato finale: che p. es., se $f$ è una funzione delle $x$, $y$, $z$, valgono nelle nostre ipotesi le uguaglianze:

$f''''_{x,x,y,z}=f''''_{z,y,z,x}=f''''_{x,z,y,x}=f''''_{y,x,z,x}=$ ecc.

perchè tutte queste derivate sono state ottenute derivando due volte rispetto alla $x$, una volta rispetto ad $y$, una volta rispetto a $z$. In altre parole, le operazioni di derivazione parziale godono della proprietà commutativa, così come ne godono i fattori di un prodotto.

E, come, per dimostrare questa proprietà per i fattori di un prodotto, basta dimostrarla per i prodotti di due soli fattori, così a noi basterà provare che:

Se la funzione $\mathrm {f(xy)}$ possiede in un punto¹ finite e continue sia le $\mathrm {f'_{x}}$, $\mathrm {f'_{y}}$ che la derivata $\mathrm {f''_{xy}}$ ottenuta derivando prima rispetto ad $\mathrm {x}$ e poi rispetto ad $\mathrm {y}$, essa possiede in tale punto anche la $\mathrm {f''_{yx}}$; ed in tal punto $\mathrm {f''_{xy}=f''_{yx}}$.

La $f''_{yx}$ è definita come il $\lim _{h=0}{\frac {1}{h}}\left[f'_{y}(x+h,y)-f'_{y}(x,y)\right]$. Si deve dimostrare che questo limite esiste ed è uguale a $f''_{z}$. poichè $f'_{y}(\xi ,y)=\lim _{k=0}{\frac {f(\xi ,y+k)-f(\xi ,y)}{k}}$, il limite da esaminare è

$\lim _{h=0}{\frac {1}{h}}\left\{{\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)}{k}}-\lim _{k=0}{\frac {f(x,y+k)-f(x,y)}{k}}\right\}$

cioè è il limite di

${\frac {1}{h}}\left\{{\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)}{k}}-{\frac {f(x,y+k)-f(x,y)}{k}}\right\}$ (1)

quando si passi al limite prima per $k=0$, e poi per $h=0$. Posto $\varphi (x)={\frac {f(x,y+k)-f(x,y)}{k}}$, la (1) diventa ${\frac {\varphi (x+h)-\varphi (x)}{h}}$, cioè per il teorema della media $\varphi '_{x}(x+\theta h)$, dove $0<\theta <1$, ossia ${\frac {f'_{x}(x+\theta h,y+k)-f'_{x}(x+\theta ,y)}{k}}$. Posto $\psi (y)=f'_{x}(x+\theta h,y)$, la (1) diventa dunque ${\frac {\psi (y+k)-\psi (y)}{k}}$, cioè per il teorema della media $\psi '(y+\theta 'k)$ ossia $f''_{xy}(x+\theta h,y+\theta 'h)$, dove ancora $0<\theta '<1$.

La $f'_{xy}$ nel punto che si considera è continua; il limite di $f''_{xy}(x+\theta h,y+\theta 'k)$ per $h=0$, $k=0$ è perciò (in qualunque modo si faccia il passaggio al limite) $f''_{xy}(x,y)$. Il limite che noi cercavamo, cioè il valore di $f''_{yz}$ esiste dunque ed è uguale a $f''_{xy}$ come volevao provare. Notiamo un semplice corollario, che è una generalizzazione del teorema della media. Il rapporto

$R_{f}={\frac {1}{h}}\left\{{\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)}{k}}-{\frac {f(x,y+k)-f(x,y)}{k}}\right\}=$

$={\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+f(x,y)}{hk}}$

ha per $\mathrm {h=k=0}$ per limite la derivata mista nel punto $\mathrm {(x,y)}$; esso stesso, prima di passare al limite, vale la derivata mista in un punto (diciamo così) intermedio $\mathrm {x+\theta h,y+\theta 'k}$. [Precisamente come ${\frac {\psi (x+h)-\psi (x)}{h}}$ ha per $h=0$ il limite $\varphi '(x)$ e prima di passare al limite vale $\varphi '(x+\theta h)$, se $\varphi '(x)$ è nell'intervallo $(x,x+h)$ determinato e finito]. nel caso attuale si suppone che la derivata mista sia anche continua.

Note

1. Suppongono tale punto interno alla regione ove $f(x,y)$ è definita ed ove, per le stesse ipotesi del nostro teorema, esistono le $f'_{z}$, $f'_{y}$, $f''_{xy}$.