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calcolo differenziale per le funzioni, ecc.

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a $z$. In altre parole, le operazioni di derivazione parziale godono della proprietà commutativa, così come ne godono i fattori di un prodotto.

E, come, per dimostrare questa proprietà per i fattori di un prodotto, basta dimostrarla per i prodotti di due soli fattori, così a noi basterà provare che:

Se la funzione $\mathrm {f(xy)}$ possiede in un punto¹ finite e continue sia le $\mathrm {f'_{x}}$, $\mathrm {f'_{y}}$ che la derivata $\mathrm {f''_{xy}}$ ottenuta derivando prima rispetto ad $\mathrm {x}$ e poi rispetto ad $\mathrm {y}$, essa possiede in tale punto anche la $\mathrm {f''_{yx}}$; ed in tal punto $\mathrm {f''_{xy}=f''_{yx}}$.

La $f''_{yx}$ è definita come il $\lim _{h=0}{\frac {1}{h}}\left[f'_{y}(x+h,y)-f'_{y}(x,y)\right]$. Si deve dimostrare che questo limite esiste ed è uguale a $f''_{z}$. poichè $f'_{y}(\xi ,y)=\lim _{k=0}{\frac {f(\xi ,y+k)-f(\xi ,y)}{k}}$, il limite da esaminare è

$\lim _{h=0}{\frac {1}{h}}\left\{{\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)}{k}}-\lim _{k=0}{\frac {f(x,y+k)-f(x,y)}{k}}\right\}$

cioè è il limite di

${\frac {1}{h}}\left\{{\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)}{k}}-{\frac {f(x,y+k)-f(x,y)}{k}}\right\}$ (1)

quando si passi al limite prima per $k=0$, e poi per $h=0$. Posto $\varphi (x)={\frac {f(x,y+k)-f(x,y)}{k}}$, la (1) diventa ${\frac {\varphi (x+h)-\varphi (x)}{h}}$, cioè per il teorema della media $\varphi '_{x}(x+\theta h)$, dove $0<\theta <1$, ossia ${\frac {f'_{x}(x+\theta h,y+k)-f'_{x}(x+\theta ,y)}{k}}$. Posto $\psi (y)=f'_{x}(x+\theta h,y)$, la (1) diventa dunque ${\frac {\psi (y+k)-\psi (y)}{k}}$, cioè per il teorema della media $\psi '(y+\theta 'k)$ ossia $f''_{xy}(x+\theta h,y+\theta 'h)$, dove ancora $0<\theta '<1$.

La $f'_{xy}$ nel punto che si considera è continua; il limite di $f''_{xy}(x+\theta h,y+\theta 'k)$ per $h=0$, $k=0$ è perciò (in qualunque modo si faccia il passaggio al limite) $f''_{xy}(x,y)$. Il limite che noi cercavamo, cioè il valore di $f''_{yz}$ esiste dunque ed è uguale a $f''_{xy}$ come volevao provare.

1. Suppongono tale punto interno alla regione ove $f(x,y)$ è definita ed ove, per le stesse ipotesi del nostro teorema, esistono le $f'_{z}$, $f'_{y}$, $f''_{xy}$.