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integrali

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Le (1), (2) equivalgono infatti alle identità

$f(b)-f(a)=-[f(a)]-[f(b)]$

$[f(b)-f(a)]+[f(c)-f(b)]=f(c)-f(a)$

$f(a)-f(a)=0$ .

Inoltre per il teor. della media:

$\int _{a}^{b}\,\mathrm {F(x)\,d\,x=f(b)-f(a)=(b-a)f(c)=(b-a)F(c)}$ ,

dove $\mathrm {c}$ è un punto intermedio tra $\mathrm {a}$ e $\mathrm {b}$ . Quindi: Se $\mathrm {M}$ è il massimo di $\mathrm {|F(x)|}$ , sarà: (3) $|\int _{a}^{b}\mathrm {F(x)dx|\leq \,M\,|b-a|}$ .

Se, p. es., $F(x)$ indica la velocitù di nn mobile all'istante $x$ , la seconda e la terza di queste uguaglianze (se $a<b<c$ ), dicono che la somma degli spazi percorsi nell'intervallo ( $a$ , $b$ ) e nell'intervallo $b$ , $c$ , è uguale allo spazio percorso nell'intervallo $a$ , $c$ ); e che lo spazio percorso in un istante (se pure è lecito dire una tale frase) è nullo. La prima delle precedenti uguaglianze ci dice che lo spazio percorso nell'intervallo $b$ , $a$ ) si deve riguardare come uguale in valore assoluto e di segno opposto a quello percorso nell'intervallo ( $a$ , $b$ ); cosicchè la precedente osservazione assume un significato generale.

È evidente che: L'area del rettangoloide limitato dalla curva $\mathrm {y=F(x)\geq \,0}$ , dall'asse delle $\mathrm {x}$ e dalle ordinate $\mathrm {x=a,x=b}$ vale $\int _{a}^{b}\mathrm {F(x)dx}$ , se $\mathrm {a<b}$ .

Se gli assi fossero obliqui e formassero un andolo $\mathrm {\omega }$ , il prodotto di questo integrale per $\mathrm {{\text{sen}}\omega }$ varrebbe l'area della figura analoga $\mathrm {0\leq \,y\,\leq \,F(x)}$ ; $\mathrm {a\,\leq \,x\,\leq \,b}$ . Questo teorema coincide con il precedente per $\mathrm {\omega ={\frac {\pi }{2}}}$ .

Se nell'integrale definito $\int _{a}^{b}F(x)dx=\int _{a}^{b}F(z)dz$ consideriamo l'estremo superiore $b$ come variabile, e per fissar le idee, poniamo $b=x$ , otteniamo

$\int _{a}^{x}F(x)dx=\int _{a}^{z}F(z)dz$

che è uguale ad $f(x)-f(a)$ e quindi differisce da $f(x)$ soltanto per una costante additiva. Esso è pure un integrale indefinito della $F(x)$ .